3.3 长期平衡与暂态平衡

3.3 长期平衡与暂态平衡：链条的两种姿态

本节摘要：母子体活度的赛跑有两种稳定结局：母体半衰期远长于子体时，链上各代活度趋于相等，叫长期平衡；子体衰变快于母体但不悬殊时，子体活度收敛到母体的固定倍数、同速衰减，叫暂态平衡。本节用镭-226 密封源与钼锝发生器两个标准样本演示判据、收敛时间与活度比的计算——读懂它们，矿石、废水、发生器里的任何母子体对都能对号入座。

3.2 节解出了活度的时间函数，本节看它足够久之后"定格"成什么样。定格姿态由半衰期悬殊程度决定，只有两档，判据清晰可算。

长期平衡：一条几乎不动的输水管

母体半衰期远大于子体（比如镭-226 的 1600 年对氡-222 的 3.8 天），母体活度在实验室时间尺度上是常数，链末端以恒定速率供货。子体活度从零爬升，按子体自己的半衰期"充水"，约经过五到七个子体半衰期后与母体相差不足百分之一——此后子体活度等于母体活度（分支比为一时），整条链像一串等流量的水箱，齐步缓慢衰减。

# 演算 3.3-1：镭-226 密封源内氡-222 的积累（长期平衡）
import math
LN2 = math.log(2)
l_rn = LN2 / 3.8235            # 氡-222 衰变常数（每天）
for t in [7, 14, 30]:
    frac = 1 - math.exp(-l_rn * t)
    print(f"密封 {t:2d} 天后，氡-222 活度达母体的 {frac * 100:.2f}%")
print(f"半衰期比：1600 年 对 3.8 天，约 {1600 * 365.25 / 3.8235:.0f} 倍 → 典型长期平衡")
# 输出：
# 密封  7 天后，氡-222 活度达母体的 71.89%
# 密封 14 天后，氡-222 活度达母体的 92.10%
# 密封 30 天后，氡-222 活度达母体的 99.57%
# 半衰期比：1600 年 对 3.8 天，约 152844 倍 → 典型长期平衡
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镭源开封灌装后放置一个月再出厂，法规与工艺都这么要求——一个月正是"等平衡"的工程表达。同样的逻辑反过来读矿石：铀矿石深埋亿万年，链上活度早已齐平，测任何一子体的活度就是测铀系的活度，这正是 6.5 节环境调查敢用伽马谱代表整个系的底气。

暂态平衡：同速伴跑与"挤奶"曲线

子体半衰期小于母体但不悬殊（6 小时对 66 小时），子体一度冲到峰值，随后与母体以母体的半衰期同速衰减，活度比锁定为一个略大于一的常数（乘上分支比后又略小于一）。钼锝发生器是这个姿态的教科书：铝柱里的钼-99 不断衰变出锝-99m，药师用盐水把锝-99m 洗脱走，子体库存清零后按暂态平衡曲线重新积累。

# 演算 3.3-2：发生器洗脱后的再积累曲线（含 87.6% 分支比）
import math
LN2 = math.log(2)
lp, ld = LN2 / 65.94, LN2 / 6.0067
b = 0.876                     # 钼-99 衰变落入锝-99m 的分支比
for t in [6, 12, 23, 48]:
    ratio = b * ld / (ld - lp) * (1 - math.exp(-(ld - lp) * t))
    print(f"洗脱后 {t:2d} 小时：锝-99m 活度约为母体钼-99 的 {ratio * 100:.1f}%")
# 输出：
# 洗脱后  6 小时：锝-99m 活度约为母体钼-99 的 45.0%
# 洗脱后 12 小时：锝-99m 活度约为母体钼-99 的 69.0%
# 洗脱后 23 小时：锝-99m 活度约为母体钼-99 的 87.7%
# 洗脱后 48 小时：锝-99m 活度约为母体钼-99 的 95.8%
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次日同一时间挤奶能回收约九成，第三天起稳定在 96% 附近——"每天一奶"的行规就写在这四行输出里。峰值时刻 22.8 小时（3.2 节算过）则是首次装柱后第一针的最佳时点。

图 3-2 两种平衡的活度曲线对比

实战案例：氡子体监测里的"平衡因子"

背景：剂量评估要求把氡气浓度换算成子体剂量，但房间通风会打破平衡——氡是气体，子体是固体微粒，两者的空间行为完全不同。

操作：测氡气浓度 C，再按经验平衡因子 F（室内典型取 0.4，矿井 0.5 上下）折算平衡等效浓度，乘以暴露时间与剂量系数得到年剂量。演算：100 贝克每立方米的房间，F 取 0.4，平衡等效浓度 40 贝克每立方米；按换算系数"每单位平衡等效浓度暴露一年约合 0.055 毫希"，居家 7000 小时折算八成，年剂量约 1.8 毫希。

结果与解读：通风好的新房 F 可以低到 0.3，老屋密闭过冬能冲到 0.6——同一个氡浓度，剂量差出一半。第 5.3 节将把这套换算展开成完整的室内氡账本，这里先记住链条结论：平衡因子本质上是对"被通风打断的长期平衡"打的补丁。同样的补丁还出现在矿山水冶与废气排放评估里——凡是气体母子体加通风稀释的场景，都要先问一句"平衡被什么打断"，再决定用哪个因子。

变式练习：把演算 3.3-1 的母体换成镭-228（5.75 年）对子体 Ac-228（6.15 小时）——半衰期比约八千倍，仍是长期平衡，但针系的镭-228 子体要约两天达到平衡，工艺等待时间与镭-226 完全不同。用同一段代码改常数即可验证。

不平衡的现场：教科书之外才是常态

真实环境里"平衡被打破"才是主旋律，而打破方式本身携带信息。铀矿山的采场会看到镭高于铀的"正失衡"——镭较活泼、随地下水迁移在前；铀水冶尾矿库则常见铀高于镭子体的"负失衡"，因为水冶流程把铀抽走了、镭留在渣里。水文地质学家反过来利用这套脾气：铀系不平衡测年（u-series disequilibrium）拿"链上断点"当尺，量出珊瑚礁阶地与洞穴碳酸盐的年龄，量程正好卡在碳十四力不从心的几千到五十万年。

判断一份样品平衡不平衡，工程上的做法是"两头都测"：用伽马谱同时测链首与链尾的代表核素，比值偏离一就是失衡的信号，失衡方向则指向迁移路径。这一段是第 6.5 环境追踪的方法论预演。

带一句工程戒律：凡是要"等平衡"的工艺（镭源灌装、钍系标样制备、氧-15 生产的两条路），等待时间都按"五倍子体半衰期"起步、留两倍余量封顶，宁可多等一个量级的时间，不要让下游每一份测量都背着百分之几的隐性偏差。平衡账算错，误差会像链本身一样往下传。

平衡不是静止，是两种衰减速率谈成的固定比例；会判断姿态，你就能从一次测量读出整条链——也会知道什么时候不能这么读。