3.2 连续方程与动量方程
3.2 连续方程与动量方程
本节摘要：对控制体清点质量进出，得连续方程；清点动量进出并计入表面应力，得动量定理。两条方程写成"密度 × 面积 × 速度"的乘法账目后，喷管加速、射流推力、弯管受力这些工程问题都能徒手解决——动量定理更是不依赖流动内部细节就能算出总力的唯一手段。
上节的账本框空着，本节往里记两笔账：一笔记质量，一笔记动量。
第一笔账：质量守恒 → 连续方程
控制体内质量不生不灭，故质量增长率等于净流入率。对定常流动（体内质量不变），流入率 = 流出率。取进出口面垂直于流动，质量流率写成 ρVA 的乘积：
ρ₁ A₁ V₁ = ρ₂ A₂ V₂ （定常一维流） 不可压时 ρ 不变，退化为：A₁ V₁ = A₂ V₂
这条"面积-速度反比"是流体里最反日常直觉的关系之一：河道收窄处水反而流得更快。把它放到空气里再算一次：风洞试验段开口面积是动力段的四分之一，试验段风速就是动力段的四倍——大型风洞的"风扇不大、风速很高"，靠的就是这一笔账。
第二笔账：动量守恒 → 动量定理
控制体内动量的增长率 = 净流入的动量流率 + 外力之和。定常时体内动量不变，于是外力合力 = 出口动量流率 − 进口动量流率。外力包含两部分：控制面上的压强合力（与粘性切应力），以及被框住的实体（机翼、叶片、管壁）施加给流体的力。把最后这个力反号，就得到流体对实体的作用力：
F_流体对实体 = − [ Σ(出口 ρVA·V + p·A) − Σ(进口 ρVA·V + p·A) ]
这行账目的厉害之处在于：完全不需要知道控制体内部发生了什么。机翼表面每一点的压强怎么分布、边界层里多少涡——统统不必知道，只要进出口的动量与压强能测出，合力就是确定的。风洞里测整机气动力的"动量法"，翼型试验后验证阻力，走的都是这条路。
图：射流冲击平板——动量定理的经典舞台
动手算：两道账目题
题一：喷管反推力。 空气（ρ = 1.225 kg/m³）以 5 m/s 从直径 0.4 m 的进口进入喷管，出口直径 0.2 m、出口表压忽略，求气流对喷管的推力。
import math rho = 1.225 A1 = math.pi * 0.4**2 / 4 # 0.1257 m² A2 = math.pi * 0.2**2 / 4 # 0.0314 m² V1 = 5.0 V2 = V1 * A1 / A2 # 连续方程：20 m/s m_dot = rho * A1 * V1 # 质量流率 0.77 kg/s F = m_dot * (V2 - V1) # 动量增量 print(V2, F) # 20.0 m/s，约 11.6 N 向后推气流，气流反推喷管向前
题二：射流冲板。 同上质量流率的水射流以 20 m/s 冲击平板并沿板面偏转 90 度，平板受力 F = 0.77 × 20 ≈ 15.4 N。注意若射流不偏转、直接穿出（如打穿网板的情形），力只剩一半——受力大小取决于动量被"废掉"多少，而不是射流本身多猛。
容易记错的两个细节
- 压强项别漏。动量账里的外力包含控制面上的压强合力：出口若开在表压为零的大气里，压强项消失；若出口有表压，必须补上 p·A。激波关系式（7.3 节）里这一项正是主角。
- 动量是矢量。上下对称的偏转流竖直动量抵消，只剩水平账目；若偏转不对称（如单侧斜板），竖直分量也要入账，平板还额外受横向力。
完整案例：一整台火箭的动量账
把动量定理用在最干净的案例上——火箭垂直起飞。把控制体框成包住火箭与喷流的闭合曲面，外力只有重力；出口只有一处：喷管喉口向下的燃气射流。稳态悬停近似下：
推力 F ≈ 质量流率 × 喷气速度 + (出口压强 − 大气压) × 出口面积
前一项是动量贡献，后一项是压强贡献——真空中第二项由负转正（喷管可以充分膨胀），这就是火箭在高空比冲更高的力学原因。一个控制体、两笔账，把火箭动力学的第一页写完了。同样的账换个方向就是风洞动量法测阻力：进出口动量差即模型所受合力，连天平都可以不用。
问题：连续方程在可压缩流动里还能用"面积-速度反比"吗？
不能直接用，必须带上密度：质量流率 ρAV 才是守恒量。收窄截面时速度上升、密度同时在变，两者竞争的结果在亚声速与超声速截然相反——这正是第 7 章"面积-速度关系反转"的伏笔。本章的所有"AV 守恒"结论都默认 ρ 不变，出界即失效。
问题：断面速度不均匀时，平均值带来的误差有多大？
取决于不均匀的程度。管道层流（抛物线剖面）用平均速度算动量流率会低算一截——动量是速度平方的加权，剖面越"尖"，平方加权越吃亏，修正系数（动量修正因子）层流圆管约 1.33、充分发展湍流约 1.02。工程上湍流管流常直接取 1，层流或强剪切的射流边界则必须补上。动量是平方量，对剖面形状敏感是它与质量账最大的不同。
问题：连续方程能不能用来"查错"？
能，而且是 CFD 收敛检查的第一道岗：每个网格单元的质量残差在收敛时应趋近零，全场最大质量残差是求解器报告的标准输出。手工计算里它同样好用——算完一组进出口状态，先乘 ρAV 对账，账不平就说明某个参数抄错或假设矛盾（比如把不可压公式用到了可压工况）。质量账最简单，因此最适合当“哨兵”：它错了，后面动量与能量的账必错。
问题：动量定理与伯努利方程都管“力与速度”，怎么分工？
记账对象不同。伯努利沿一条流线记能量账，给出“点对点”的压强-速度关系；动量定理对一个控制体记总账，给出“整体受力”。管道里的流动两者都用：伯努利算沿程的压强变化，动量定理算流体对弯头、喷嘴的总作用力——前者回答“哪里压强多少”，后者回答“支架要扛多大载荷”。把两个工具当成不同精度的尺子，各量各的东西，就不会互相纠缠。
本节要点
- 连续方程：定常流 ρAV 沿程不变，不可压时面积与速度成反比。
- 动量定理：定常流中外力合力 = 动量流率之差，与内部细节无关。
- 动量法测力：包住目标物，量进出口即可得总力，是风洞天平的交叉验证手段。
- 压强项与矢量性是动量账最常被漏记的两笔。
- 所有结论的代价是"一维、定常"假设——参数在断面上不均匀时，用平均值近似，误差由断面速度分布决定。
账本框架已经立稳。下一节把控制体收缩到无穷小的点上，得到微分形式的两大方程体系——欧拉方程与纳维-斯托克斯方程。