持续同调 · persistent homology
均值、方差、相关系数——这些统计量描述的是"分布"，不是"形状"。两组点云可以有完全相同的统计量，但形状截然不同。
拓扑用 Betti 数数形状：β₀ 是有几个连通块，β₁ 是有几个一维洞（环），β₂ 是有几个二维空腔。一个圆环 β₀=1、β₁=1、β₂=0；一个球面 β₀=1、β₁=0、β₂=1。统计告诉你数据在哪，拓扑告诉你数据是什么形状。
每个点画一个半径为 r 的圆，圆相交就连边、三点成环就填三角。随 r 增大，连通块合并（β₀ 降）、洞出现又消失（β₁ 升降）。右侧条形码记录每个特征从生到灭的半径区间——长条是真特征，短条是噪声。
持续同调的关键不是看某个半径的洞，而是看洞存活了多久。半径从 0 增大到 ∞，每个拓扑特征都有一个出生半径和死亡半径，区间长度就是它的"寿命"。
寿命短的洞，稍大半径就消失，是数据抖动。
寿命长的洞，跨越大范围半径都存在，是真实形状。
一维洞长寿，说明数据有环状结构。
二维空腔长寿，说明数据有壳状结构。
应用很广：神经科学用它发现脑活动有环状结构（视觉皮层对方向的编码），材料学用它区分晶体和非晶，机器学习用它做点云分类。当数据有形状，传统方法看不见时，上拓扑。