3.3 两列车的相遇：相对论速度叠加

3.3 两列车的相遇：相对论速度叠加

本站摘要：对洛伦兹变换求导得到速度叠加公式——分子照旧相加，分母多了 1 加 uv 除 c 平方这具刹车。0.9c 对 0.9c 的迎面相遇，相对速度是 0.9945c 而非 1.8c。本节还回算菲索 1851 年水流实验，看新表如何顺手解释半个世纪前的老数据。

3.2 的新表刚挂上墙，本站接第一单业务：速度合成。它同时澄清一个高频困惑——"两列 0.9c 的车相向而行，互相看对方难道不是 1.8c？"

两列车的相遇

**推导只需要一步链式法则。**速度是位置对时间的导数，对 3.2 的换算式取微分：

dx' = γ·(dx - v·dt)
dt' = γ·(dt - v·dx/c²)
两式相除：u' = (u - v) / (1 - u·v/c²)
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反过来（v 变号）就是合成式：u 等于 u 撇加 v，再除以 1 加 u 撇 v 除 c 平方。分子是伽利略式的老加法，分母是高速区自动收紧的刹车。当两个速度都很小时，分母趋近 1，一切如旧；任何一个速度等于 c 时，结果恒为 c——光速在新表下叠加不变，这是 3.2 推导的设计规格，此处兑现。

# 演算 1：相遇时刻的相对速度
c = 299_792_458
def compose(u_p, v):
    return (u_p + v) / (1 + u_p*v/c**2)

a = 0.9 * c
print("迎面相遇的相对速度:", compose(a, a)/c, "c")        # 输出: 0.994475 c
print("伽利略旧表会给出:", 1.8, "c")
print("顺向追赶(后车0.99c追前车0.9c):", compose(0.99*c, 0.9*c)/c, "c")
# 输出: 0.999492 c —— 越追越近，但差距缩小得极慢

# 连续叠加自查：三段 0.5c 接力
u = 0.0
for _ in range(3):
    u = compose(u, 0.5*c)
print("三段 0.5c 接力后:", u/c, "c")                      # 输出: 0.928571 c（不是 1.5c）
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"1.8c"去哪了？站台站长看两车彼此逼近，每秒距离缩短 1.8c 乘 1 秒——这个量叫接近速度（或分离速度），是两个速度的差商，不是任何单个物体的运动速度。速度上限约束的是"能量与信息随物体移动"的速率，距离缩短率没有实体，不在此列。区分这两者，一半的"超光速"新闻标题就自动失效。

# 演算 2：合成曲线扫描——刹车如何工作
c = 1.0
def compose(u_p, v):
    return (u_p + v) / (1 + u_p*v)

print("v=0.9 时不同 u' 的合成结果:")
for u_p in [0.0, 0.2, 0.5, 0.8, 0.9, 0.999]:
    print(f"  u'={u_p:5.3f} → u={compose(u_p, 0.9):.6f}")
# 输出:
#   u'=0.000 → u=0.900000
#   u'=0.200 → u=0.932203
#   u'=0.500 → u=0.965517
#   u'=0.800 → u=0.988372
#   u'=0.900 → u=1.000000（光速封顶）
#   u'=0.999 → u=0.999989
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图 速度合成曲线：分母的刹车

菲索实验：新表对老数据的回访

1851 年菲索让光顺水和逆水通过流动的水管，测光速的增减。水会部分"拖曳"以太，是当时的数据；今天用新表重算，一步到位。光在静水中的速度是 c 除以 n（n 为折射率），水管流速 v，合成：

u = (c/n + v) / (1 + v/(n·c)) ≈ c/n + v·(1 - 1/n²)   （保留 v 一次项）
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一次项系数 1 减 1 除 n 平方，就是菲索的"拖曳系数"——不需要以太，不需要拖曳机制，分母展开的自然结果。

# 演算 3：菲索实验复算
c = 299_792_458
n = 1.33                        # 水的折射率（钠黄光）
v = 7.059                       # 菲索水管中的水流速度，米/秒

u_exact  = (c/n + v) / (1 + v/(n*c))          # 相对论精确式
u_classic = c/n + v                            # 完全拖曳（旧直觉）
u_drag   = c/n + v * (1 - 1/n**2)              # 一次项近似
print("静水中光速 c/n:", c/n, "m/s")            # 输出: 225407863.2 m/s
print("完全拖曳预言增量:", v, "m/s")
print("相对论精确增量:", u_exact - c/n, "m/s")  # 输出: 3.053 m/s
print("拖曳系数近似增量:", u_drag - c/n, "m/s") # 输出: 3.053 m/s
print("理论拖曳系数 1-1/n² =", 1 - 1/n**2)      # 输出: 0.4345
print("菲索实测系数约 0.434 —— 相对论与十九世纪数据在第三位吻合")
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同一张新表，既算出 0.9945c 的高速相遇，也算出每秒 3 米的水流光速修正——跨了七个数量级仍然精确，这是理论统一性的又一次实测背书。

把常用档位的合成结果做成速查表，日常推演不必每次现算：

表里第二行的数字可以直接验算：(0.8 加 0.8) 除以 (1 加 0.64) 等于 1.6 除以 1.64 等于 0.9756。注意"差距"栏的口径：两个速度越接近 c，新表把合成结果压得越狠——分母的增长比分子快。等到两边都是 0.99c 时，伽利略结果已经越界 98%，新表仍稳稳钉在 c 以内。日常驾驶里这张表毫无用武之地（0.03 加 0.03 约等于 0.06，分母项只有十的负十七次方量级），但对 6.1 节的对撞机，它是每天都要查的那一页。

⚠️ 两类易错：其一，把接近速度（可到 2c）当成相对速度报道——记住上限管的是实体与信息；其二，横向速度另有公式——垂直方向的分量要除以γ乘 (1 加 u 撇 v 除 c 平方)，斜向运动先分解再换算，别把一维公式直接套三维。

💡 一个省力直觉：速度叠加公式其实是"双曲几何里的加法"。把每 个速度换成快度（artanh u 除 c），叠加就变成普通相加——快度无上限，速度才撞顶。粒子物理学家日常用快度记账，5.4 节的能量动量图里会再遇到这个结构。

本节要点回顾

• 叠加公式：u 等于 (u 撇加 v) 除以 (1 加 u 撇 v 除 c 平方)，由换算式取导一步得出
• 刹车机制：分母随速度增大，任何合成结果不超 c；光加任何速度仍是光
• 数值样例：0.9c 对 0.9c 得 0.9945c；三段 0.5c 接力得 0.9286c
• 接近速度：站台看的距离缩短率可达 2c，不是实体速度，不违反上限
• 菲索回访：拖曳系数 1 减 1 除 n 平方等于新表分母展开的一次项，与 1851 年数据吻合
• 快度视角：换成快度后叠加回归普通加法，上限是坐标变换的产物

单件业务办完，下一节把整间换算室整理成一本顺手的业务手册。