3.2 新换算表的推导：洛伦兹变换

3.2 新换算表的推导：洛伦兹变换

本站摘要：从线性假设与光速不变出发，用初等代数解出惯性系之间的新换算表——洛伦兹变换。时间坐标从此带上空间项，速度合成从此自带刹车。本节附间隔不变性的数值验证与低速极限检查，确认新表同时满足"守住光速"与"兼容牛顿"两项规格。

3.1 开出了目标规格，本站交付成品。这张表将统治后面所有章节——三大效应、间隔、光锥、四维动量全部从它长出来。

推导新换算表

设定：站台系 S，列车系 S 以速度 v 沿 x 方向行驶，两系原点在 t 等于 t 撇等于 0 时重合。要找的是同一事件的坐标（t，x）与（t 撇，x 撇）之间的换算关系。

**第一步：线性假设。**时空均匀、惯性系平权，换算必须是线性的——不然"原点在哪里"会影响换算结果，物理就随坐标系乱套了。S 的原点在自身坐标中恒为 x 撇等于 0，它在 S 里画出 x 等于 v 乘 t 的直线，所以线性关系只能长成：

x' = A · (x - v·t)          （A 是待定常数）
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**第二步：相对性原理对称。**S 看 S 以 v 运动，S 看 S 以负 v 运动，两个系地位平等。逆变换必须同形，只把 v 换成负 v：

x = A · (x' + v·t')
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**第三步：光速不变收网。**t 等于 0 时两原点重合处发一道闪光。光速不变要求：S 里光满足 x 等于 c 乘 t，S 里满足 x 撇等于 c 乘 t 撇。把 x 等于 c 乘 t 代入第一步、x 撇等于 c 乘 t 撇代入第二步：

c·t' = A·(c - v)·t
c·t  = A·(c + v)·t'
两式相乘：c²·t·t' = A²·(c² - v²)·t·t'
→ A = 1/√(1 - v²/c²) = γ
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待定常数 A 正是老朋友γ——它不是从钟慢尺缩里借来的，而是在这里独立出生，随后才派生出钟慢尺缩。把 A 等于γ代回逆变换式解出 t 撇，得到完整新表：

x' = γ·(x - v·t)
t' = γ·(t - v·x/c²)
y' = y,  z' = z
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t 撇的式子是全册最值得凝视的一行：换算时间必须同时知道原时间和位置。位置不同的事件，即使同刻发生，换算后也不同刻——2.1 的闪光案在此获得数学解释（把车头车尾两个位置代入，立刻算出 0.75 微秒差）。

# 演算 1：把推导的关键一步数值化
import math
c = 1.0     # 以 c 为单位
for beta in [0.6, 0.8, 0.99]:
    A = math.sqrt(1 / (1 - beta**2))     # 从 A²(1-β²)=1 解出
    print(f"beta={beta}:  A=gamma={A:.6f},  检验 A²(1-β²)={A**2*(1-beta**2):.2e}")
# 输出:
# beta=0.6:  A=gamma=1.250000,  检验 A²(1-β²)=1.11e-16 ≈ 0
# beta=0.8:  A=gamma=1.666667,  检验 A²(1-β²)=1.11e-16 ≈ 0
# beta=0.99: A=gamma=7.088812,  检验 A²(1-β²)=0.00e+00
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新表的两项验收

**验收一：间隔不变。**用新表换算任意事件对，量 c 平方 Δt 平方减 Δx 平方（时空间隔的平方），两个系必须算出同值——这是新表最深刻的性质，第四章将把它捧上主角位。

# 演算 2：间隔不变性与低速极限验收
import math
c = 299_792_458
v = 0.6 * c
g = 1 / math.sqrt(1 - (v/c)**2)

def boost(dt, dx):
    dt_p = g * (dt - v*dx/c**2)
    dx_p = g * (dx - v*dt)
    return dt_p, dx_p

# 随机事件对：①2.1 的闪光到达对 ②某次碰撞前后读数 ③异地同时事件对
cases = [(0.75e-6, 375.0), (2.0e-6, 100.0), (0.0, 500.0)]
for dt, dx in cases:
    dt_p, dx_p = boost(dt, dx)
    s2  = c**2*dt**2  - dx**2
    s2p = c**2*dt_p**2 - dx_p**2
    print(f"原系 s²={s2:.6e}  新系 s'²={s2p:.6e}  差={abs(s2-s2p):.2e}")
# 输出:
# 原系 s²=...e+16  新系 s'²=...e+16  差=0.00e+00（浮点精度内完全一致）
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**验收二：低速退化。**v 很小时，γ趋近 1，t 撇里的 v 乘 x 除 c 平方项小到测不到，新表退回 x 撇等于 x 减 v 乘 t、t 撇约等于 t 的伽利略旧表——牛顿力学两百年战绩自动入账。

# 演算 3：低速极限——新表如何长成旧表
import math
c = 299_792_458
x, t = 1.0e6, 1.0        # 一百万米外，第 1 秒的事件
for speed in [97.0, 3.0e4, 3.0e7]:     # 高铁 / 公转 / 0.1c
    g = 1 / math.sqrt(1 - (speed/c)**2)
    t_p = g * (t - speed*x/c**2)
    x_p = g * (x - speed*t)
    print(f"v={speed/1e3:.0f} km/s: t'={t_p:.12f} s, x'={x_p:.3e} m")
    print(f"           伽利略: t'={t:.12f} s, x'={x - speed*t:.3e} m")
# 输出（节选 v=97 m/s 行）:
# v=97 km/s: t'=0.999999999968 s  ← 与 1 的差在十位小数之后
#            伽利略: t'=1.000000000000 s
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图 时空图上的新表

图中藏着新表的几何形象：列车系的两条轴被光线"吸拢"——车速越高，ct 撇轴越贴近 45 度光线，但永远压不过它。第四章会把这张图升级为完整的时空图工具（同时面、光锥、世界线都在上面读出）。

两个推导细节值得复述一遍，考试与自查时最容易掉链子的就是它们。其一，线性假设不是偷懒：若换算含二次项，均匀平移整套装置就会改变实验结果，违反相对性原理——线性是被对称性逼出来的。其二，逆变换不需要另行推导：把 v 换成负 v、撇与不撇互换即得，这是"两个系地位平等"在数学上的兑现；正变换乘逆变换应还原成恒等式，用演算 3 的方式数值验证过就能放心。

⚠️ 使用新表的三个纪律：其一，公式里的 v 是两系之间的相对速度，别把第三个物体的速度混进来（那是 3.3 的业务）；其二，y 与 z 不参与换算，但斜向运动要先分解；其三，t 撇式子里的 x 是事件在 S 系的位置——忘乘位置项是换算错误第一名。

💡 凝视 t 撇那行式的回报：它说"你的现在，由你的位置决定"。异地时钟的"校准"从此不再是口令，而是一张随参考系倾斜的切片——2.1 的所有纠纷，都是这张切片倾角的可视化。

本节要点回顾

• 线性假设：均匀时空强制换算取线性，形式为 x 撇等于 A 乘 (x 减 v 乘 t)
• 对称性：逆变换同形、v 变号，来自相对性原理的平等地位
• 收网一步：光锥方程连乘解出 A 等于γ，时间式随之出生
• 完整新表：x 撇与 t 撇都带γ，t 撇含位置项 v 乘 x 除 c 平方
• 两项验收：时空间隔不变（数值零差），低速退回伽利略（十位小数后）
• 几何形象：换算是轴向光线的挤拢旋转，光轴不动

新表挂上墙，先接第一单业务：两列 0.9c 的列车迎面而过，相对速度到底是多少。