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权重衰减

文档摘要

权重衰减 :label: 前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。 我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。 但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。 假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。 回想一下，在多项式回归的例子（ :numref: ）中， 我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。 实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。 然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。 我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。 多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials）， 也可以说是变量幂的乘积。 单项式的阶数是幂的和。

权重衰减

🏷sec_weight_decay

前一节我们描述了过拟合的问题，本节我们将介绍一些正则化模型的技术。
我们总是可以通过去收集更多的训练数据来缓解过拟合。
但这可能成本很高，耗时颇多，或者完全超出我们的控制，因而在短期内不可能做到。
假设我们已经拥有尽可能多的高质量数据，我们便可以将重点放在正则化技术上。

回想一下，在多项式回归的例子（ :numref:sec_model_selection）中，
我们可以通过调整拟合多项式的阶数来限制模型的容量。
实际上，限制特征的数量是缓解过拟合的一种常用技术。
然而，简单地丢弃特征对这项工作来说可能过于生硬。
我们继续思考多项式回归的例子，考虑高维输入可能发生的情况。
多项式对多变量数据的自然扩展称为单项式（monomials），
也可以说是变量幂的乘积。
单项式的阶数是幂的和。
例如，x_1^2 x_2和x_3 x_5^2都是3次单项式。

注意，随着阶数d的增长，带有阶数d的项数迅速增加。
给定k个变量，阶数为d的项的个数为
{k - 1 + d} \choose {k - 1}，即C^{k-1}_{k-1+d} = \frac{(k-1+d)!}{(d)!(k-1)!}。
因此即使是阶数上的微小变化，比如从2到3，也会显著增加我们模型的复杂性。
仅仅通过简单的限制特征数量（在多项式回归中体现为限制阶数），可能仍然使模型在过简单和过复杂中徘徊，
我们需要一个更细粒度的工具来调整函数的复杂性，使其达到一个合适的平衡位置。

范数与权重衰减

在 :numref:subsec_lin-algebra-norms中，
我们已经描述了L_2范数和L_1范数，
它们是更为一般的L_p范数的特殊情况。
(权重衰减是最广泛使用的正则化的技术之一)
在训练参数化机器学习模型时，
权重衰减（weight decay）是最广泛使用的正则化的技术之一，
它通常也被称为L_2正则化。
这项技术通过函数与零的距离来衡量函数的复杂度，
因为在所有函数f中，函数f = 0（所有输入都得到值0）
在某种意义上是最简单的。
但是我们应该如何精确地测量一个函数和零之间的距离呢？
没有一个正确的答案。
事实上，函数分析和巴拿赫空间理论的研究，都在致力于回答这个问题。

一种简单的方法是通过线性函数
f(\mathbf{x}) = \mathbf{w}^\top \mathbf{x}
中的权重向量的某个范数来度量其复杂性，
例如\| \mathbf{w} \|^2。
要保证权重向量比较小，
最常用方法是将其范数作为惩罚项加到最小化损失的问题中。
将原来的训练目标最小化训练标签上的预测损失，
调整为最小化预测损失和惩罚项之和。
现在，如果我们的权重向量增长的太大，
我们的学习算法可能会更集中于最小化权重范数\| \mathbf{w} \|^2。
这正是我们想要的。
让我们回顾一下 :numref:sec_linear_regression中的线性回归例子。
我们的损失由下式给出：

L(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.

回想一下，\mathbf{x}^{(i)}是样本i的特征，
y^{(i)}是样本i的标签，
(\mathbf{w}, b)是权重和偏置参数。
为了惩罚权重向量的大小，
我们必须以某种方式在损失函数中添加\| \mathbf{w} \|^2，
但是模型应该如何平衡这个新的额外惩罚的损失？
实际上，我们通过正则化常数\lambda来描述这种权衡，
这是一个非负超参数，我们使用验证数据拟合：

L(\mathbf{w}, b) + \frac{\lambda}{2} \|\mathbf{w}\|^2,

对于\lambda = 0，我们恢复了原来的损失函数。
对于\lambda > 0，我们限制\| \mathbf{w} \|的大小。
这里我们仍然除以2：当我们取一个二次函数的导数时，
2和1/2会抵消，以确保更新表达式看起来既漂亮又简单。
为什么在这里我们使用平方范数而不是标准范数（即欧几里得距离）？
我们这样做是为了便于计算。
通过平方L_2范数，我们去掉平方根，留下权重向量每个分量的平方和。
这使得惩罚的导数很容易计算：导数的和等于和的导数。

此外，为什么我们首先使用L_2范数，而不是L_1范数。
事实上，这个选择在整个统计领域中都是有效的和受欢迎的。
L_2正则化线性模型构成经典的岭回归（ridge regression）算法，
L_1正则化线性回归是统计学中类似的基本模型，
通常被称为套索回归（lasso regression）。
使用L_2范数的一个原因是它对权重向量的大分量施加了巨大的惩罚。
这使得我们的学习算法偏向于在大量特征上均匀分布权重的模型。
在实践中，这可能使它们对单个变量中的观测误差更为稳定。
相比之下，L_1惩罚会导致模型将权重集中在一小部分特征上，
而将其他权重清除为零。
这称为特征选择（feature selection），这可能是其他场景下需要的。

使用与 :eqref:eq_linreg_batch_update中的相同符号，
L_2正则化回归的小批量随机梯度下降更新如下式：

\begin{aligned} \mathbf{w} & \leftarrow \left(1- \eta\lambda \right) \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}

根据之前章节所讲的，我们根据估计值与观测值之间的差异来更新\mathbf{w}。
然而，我们同时也在试图将\mathbf{w}的大小缩小到零。
这就是为什么这种方法有时被称为权重衰减。
我们仅考虑惩罚项，优化算法在训练的每一步衰减权重。
与特征选择相比，权重衰减为我们提供了一种连续的机制来调整函数的复杂度。
较小的\lambda值对应较少约束的\mathbf{w}，
而较大的\lambda值对\mathbf{w}的约束更大。

是否对相应的偏置b^2进行惩罚在不同的实践中会有所不同，
在神经网络的不同层中也会有所不同。
通常，网络输出层的偏置项不会被正则化。

高维线性回归

我们通过一个简单的例子来演示权重衰减。

%matplotlib inline
from d2l import mxnet as d2l
from mxnet import autograd, gluon, init, np, npx
from mxnet.gluon import nn
npx.set_np()
​
#@tab pytorch
%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
import torch
from torch import nn
​
#@tab tensorflow
%matplotlib inline
from d2l import tensorflow as d2l
import tensorflow as tf
​
#@tab paddle
%matplotlib inline
from d2l import paddle as d2l
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
import paddle
from paddle import nn
​

首先，我们[像以前一样生成一些数据]，生成公式如下：

(

y = 0.05 + \sum_{i = 1}^d 0.01 x_i + \epsilon \text{ where } \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.01^2).
)

我们选择标签是关于输入的线性函数。
标签同时被均值为0，标准差为0.01高斯噪声破坏。
为了使过拟合的效果更加明显，我们可以将问题的维数增加到d = 200，
并使用一个只包含20个样本的小训练集。

#@tab all
n_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = d2l.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)
​

从零开始实现

下面我们将从头开始实现权重衰减，只需将L_2的平方惩罚添加到原始目标函数中。

[初始化模型参数]

首先，我们将定义一个函数来随机初始化模型参数。

def init_params():
    w = np.random.normal(scale=1, size=(num_inputs, 1))
    b = np.zeros(1)
    w.attach_grad()
    b.attach_grad()
    return [w, b]
​
#@tab pytorch
def init_params():
    w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)
    b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
    return [w, b]
​
#@tab tensorflow
def init_params():
    w = tf.Variable(tf.random.normal(mean=1, shape=(num_inputs, 1)))
    b = tf.Variable(tf.zeros(shape=(1, )))
    return [w, b]
​
#@tab paddle
def init_params():
    w = paddle.normal(0, 1, shape=(num_inputs, 1))
    w.stop_gradient = False
    b = paddle.zeros(shape=[1])
    b.stop_gradient = False
    return [w, b]
​

(定义L_2范数惩罚)

实现这一惩罚最方便的方法是对所有项求平方后并将它们求和。

def l2_penalty(w):
    return (w**2).sum() / 2
​
#@tab pytorch
def l2_penalty(w):
    return torch.sum(w.pow(2)) / 2
​
#@tab tensorflow
def l2_penalty(w):
    return tf.reduce_sum(tf.pow(w, 2)) / 2
​
#@tab paddle
def l2_penalty(w):
    return paddle.sum(w.pow(2)) / 2
​

[定义训练代码实现]

下面的代码将模型拟合训练数据集，并在测试数据集上进行评估。
从 :numref:chap_linear以来，线性网络和平方损失没有变化，
所以我们通过d2l.linreg和d2l.squared_loss导入它们。
唯一的变化是损失现在包括了惩罚项。

def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with autograd.record():
                # 增加了L2范数惩罚项，
                # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
                l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', np.linalg.norm(w))
​
#@tab pytorch
def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            # 增加了L2范数惩罚项，
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())
​
#@tab tensorflow
def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with tf.GradientTape() as tape:
                # 增加了L2范数惩罚项，
                # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量
                l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            grads = tape.gradient(l, [w, b])
            d2l.sgd([w, b], grads, lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', tf.norm(w).numpy())
​
#@tab paddle
def train(lambd):
    w, b = init_params()
    net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_loss
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter():
            # 增加了L2范数惩罚项,
            # 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为`batch_size`的向量
            l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.sum().backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数是：', paddle.norm(w).item())
​

[忽略正则化直接训练]

我们现在用lambd = 0禁用权重衰减后运行这个代码。
注意，这里训练误差有了减少，但测试误差没有减少，
这意味着出现了严重的过拟合。

#@tab all
train(lambd=0)
​

[使用权重衰减]

下面，我们使用权重衰减来运行代码。
注意，在这里训练误差增大，但测试误差减小。
这正是我们期望从正则化中得到的效果。

#@tab all
train(lambd=3)
​

[简洁实现]

由于权重衰减在神经网络优化中很常用，
深度学习框架为了便于我们使用权重衰减，
将权重衰减集成到优化算法中，以便与任何损失函数结合使用。
此外，这种集成还有计算上的好处，
允许在不增加任何额外的计算开销的情况下向算法中添加权重衰减。
由于更新的权重衰减部分仅依赖于每个参数的当前值，
因此优化器必须至少接触每个参数一次。

:begin_tab:mxnet
在下面的代码中，我们在实例化Trainer时直接通过wd指定weight decay超参数。
默认情况下，Gluon同时衰减权重和偏置。
注意，更新模型参数时，超参数wd将乘以wd_mult。
因此，如果我们将wd_mult设置为零，则偏置参数b将不会被衰减。
:end_tab:

:begin_tab:pytorch
在下面的代码中，我们在实例化优化器时直接通过weight_decay指定weight decay超参数。
默认情况下，PyTorch同时衰减权重和偏移。
这里我们只为权重设置了weight_decay，所以偏置参数b不会衰减。
:end_tab:

:begin_tab:tensorflow
在下面的代码中，我们使用权重衰减超参数wd创建一个L_2正则化器，
并通过kernel_regularizer参数将其应用于网络层。
:end_tab:

def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential()
    net.add(nn.Dense(1))
    net.initialize(init.Normal(sigma=1))
    loss = gluon.loss.L2Loss()
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
                            {'learning_rate': lr, 'wd': wd})
    # 偏置参数没有衰减。偏置名称通常以“bias”结尾
    net.collect_params('.*bias').setattr('wd_mult', 0)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with autograd.record():
                l = loss(net(X), y)
            l.backward()
            trainer.step(batch_size)
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', np.linalg.norm(net[0].weight.data()))
​
#@tab pytorch
def train_concise(wd):
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))
    for param in net.parameters():
        param.data.normal_()
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减
    trainer = torch.optim.SGD([
        {"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},
        {"params":net[0].bias}], lr=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            trainer.zero_grad()
            l = loss(net(X), y)
            l.mean().backward()
            trainer.step()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1,
                         (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                          d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
​
#@tab tensorflow
def train_concise(wd):
    net = tf.keras.models.Sequential()
    net.add(tf.keras.layers.Dense(
        1, kernel_regularizer=tf.keras.regularizers.l2(wd)))
    net.build(input_shape=(1, num_inputs))
    w, b = net.trainable_variables
    loss = tf.keras.losses.MeanSquaredError()
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    trainer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with tf.GradientTape() as tape:
                # tf.keras需要为自定义训练代码手动添加损失。
                l = loss(net(X), y) + net.losses
            grads = tape.gradient(l, net.trainable_variables)
            trainer.apply_gradients(zip(grads, net.trainable_variables))
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', tf.norm(net.get_weights()[0]).numpy())
​
#@tab paddle
def train_concise(wd):
    weight_attr = paddle.framework.ParamAttr(initializer=paddle.nn.initializer.Normal(mean=0.0, std=1.0))
    bias_attr = paddle.framework.ParamAttr(initializer=paddle.nn.initializer.Normal(mean=0.0, std=1.0))
    net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1, weight_attr=weight_attr, bias_attr=bias_attr))
    loss = nn.MSELoss()
    num_epochs, lr = 100, 0.003
    # 偏置参数没有衰减。
    trainer = paddle.optimizer.SGD(parameters=net[0].parameters(), learning_rate=lr, weight_decay=wd*1.0)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            l = loss(net(X), y)
            l.backward()
            trainer.step()
            trainer.clear_grad()
        if (epoch + 1) % 5 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())
​

[这些图看起来和我们从零开始实现权重衰减时的图相同]。
然而，它们运行得更快，更容易实现。
对于更复杂的问题，这一好处将变得更加明显。

#@tab all
train_concise(0)
​
#@tab all
train_concise(3)
​

到目前为止，我们只接触到一个简单线性函数的概念。
此外，由什么构成一个简单的非线性函数可能是一个更复杂的问题。
例如，再生核希尔伯特空间（RKHS）
允许在非线性环境中应用为线性函数引入的工具。
不幸的是，基于RKHS的算法往往难以应用到大型、高维的数据。
在这本书中，我们将默认使用简单的启发式方法，即在深层网络的所有层上应用权重衰减。

小结

  • 正则化是处理过拟合的常用方法：在训练集的损失函数中加入惩罚项，以降低学习到的模型的复杂度。
  • 保持模型简单的一个特别的选择是使用L_2惩罚的权重衰减。这会导致学习算法更新步骤中的权重衰减。
  • 权重衰减功能在深度学习框架的优化器中提供。
  • 在同一训练代码实现中，不同的参数集可以有不同的更新行为。

练习

  1. 在本节的估计问题中使用\lambda的值进行实验。绘制训练和测试精度关于\lambda的函数。观察到了什么？
  2. 使用验证集来找到最佳值\lambda。它真的是最优值吗？这有关系吗？
  3. 如果我们使用\sum_i |w_i|作为我们选择的惩罚（L_1正则化），那么更新方程会是什么样子？
  4. 我们知道\|\mathbf{w}\|^2 = \mathbf{w}^\top \mathbf{w}。能找到类似的矩阵方程吗（见 :numref:subsec_lin-algebra-norms 中的Frobenius范数）？
  5. 回顾训练误差和泛化误差之间的关系。除了权重衰减、增加训练数据、使用适当复杂度的模型之外，还能想出其他什么方法来处理过拟合？
  6. 在贝叶斯统计中，我们使用先验和似然的乘积，通过公式P(w \mid x) \propto P(x \mid w) P(w)得到后验。如何得到带正则化的P(w)？

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