3.4 从量子涨落到今日丰度：暗物质与早期宇宙
3.4 从量子涨落到今日丰度：暗物质与早期宇宙
本节摘要：暗物质粒子的今日丰度多半在宇宙诞生后第一秒内就定了案。热遗迹图像：粒子早期与热浴共处，湮灭与产生平衡；宇宙膨胀稀释密度，反应率跌破膨胀率后密度"冻结"。冻结时的截面决定今日丰度——截面大湮灭得久、剩得少，反之剩得多。本节复算遗迹丰度公式的标度关系与弱尺度截面的"巧合"，再算今日宇宙平均数密度，为候选粒子立下第一道筛选门槛。
案发最初一秒：三种来路
画像（3.1 节）不回答出身。出身有三条主流来路。热遗迹：早期宇宙热浴里本来就有，靠湮灭自我稀释——中微子、WIMP 走这条路。非热产生：从不曾在热浴中达平衡，靠场演化或拓扑缺陷"冷启动"——轴子的失谐机制、超对称粒子的引力产生是代表。引力坍缩：不走粒子路线，早期密度涨落直接坍成原始黑洞（第4章单独立案）。本节只推第一条，因为它给出候选粒子最通用的量化门槛。
热遗迹的剧本三幕。第一幕，平衡：温度高于粒子质量时，湮灭 χχ→普通粒子与逆过程打平，粒子数密度跟着热浴走（相对论性时 ∝ T³）。第二幕，退耦：温度降到质量以下，粒子变非相对论性，数密度被玻尔兹曼因子压成指数衰减；但宇宙在膨胀，密度越稀释，湮灭越难找到对手。第三幕，冻结：湮灭率 Γ = n⟨σv⟩ 掉到哈勃率 H 之下，反应就此停摆，数密度与熵密度之比从此冻结在常数。冻结时刻由 Γ = H 判据决定，通常落在 x ≡ m/T ≈ 20 到 25——温度约质量的二十分之一，粒子已凉透。
图 冻结：两条曲线的分岔点
动手验算：遗迹丰度的标度律
把玻尔兹曼方程沿历史积分，得到教科书级的近似式：
Ω_χ h² ≈ 3×10⁻²⁷ cm³/s ÷ ⟨σv⟩。
一句行话概括：今日丰度反比于湮灭截面。代入数字感受这个反比的力度：
print("遗迹丰度 Ohm h^2 约 3e-27 / <σv>：") for sv in [1e-26, 2.6e-26, 1e-25, 1e-24]: print(" <σv>=%.1e cm^3/s -> Ohm h^2 = %.3f" % (sv, 3e-27 / sv))
输出：
遗迹丰度 Ohm h^2 约 3e-27 / <σv>： <σv>=1.0e-26 cm^3/s -> Ohm h^2 = 0.300 <σv>=2.6e-26 cm^3/s -> Ohm h^2 = 0.115 <σv>=1.0e-25 cm^3/s -> Ohm h^2 = 0.030 <σv>=1.0e-24 cm^3/s -> Ohm h^2 = 0.003
观测值 Ω h² ≈ 0.12 恰好落在 2.6×10⁻²⁶ 附近。这个截面是什么水平？用弱相互作用的有效理论粗估——费米常数平方乘温度平方：
GF, T = 1.166e-5, 5.0 # GeV^-2；T 取 m/20（m=100 GeV） sv_weak = GF ** 2 * T ** 2 / 3.14159265 * 1.167e-17 # GeV^-2 -> cm^3/s print("弱尺度估计 G_F^2 T^2 / pi = %.2e cm^3/s" % sv_weak)
输出：
弱尺度估计 G_F^2 T^2 / pi = 1.26e-26 cm^3/s
1.3×10⁻²⁶，与 2.6×10⁻²⁶ 同量级。一个由电弱能标的常数拼出来的截面，恰好落在"让暗物质占宇宙四分之一"的窄缝里——这就是号称"WIMP 奇迹"的数值巧合，第4章头号嫌疑人的核心魅力。注意它的分寸：量级对上（因子二在粒子物理里是精准），精确值仍依赖模型细节。
两问两答
问：冻结的"x 约 20"从哪来？为什么不是 5 或 100？
答：它是 Γ = H 判据的自洽解。x 越小温度越高，粒子还 relativistic，平衡数密度高、湮灭快，冻结推不到那么早；x 越大数密度已被玻尔兹曼因子压扁，湮灭率指数下降，更追不上膨胀。方程两侧贴着走的平衡点自然落在 x 为 20 上下——这个数不是拟合的，是把退耦方程解出来后的"出炉温度"。
问：反比关系"截面大剩得少"听着反直觉，有没有日常版理解？
答：把它想成一场散场后的大厅。出口宽（截面大），人流彼此"湮灭"得快，灯亮到很晚（冻结晚），最后剩在厅里的人少；出口窄，还没等大家找到彼此灯就灭了（冻结早），剩下的人反而多。丰度记录的是"反应停止那一刻"的状态，而停止得早晚会自我调节——这正是"宇宙学把粒子物理当测截面仪"的原理。
今日数密度再算一遍，感受湮灭的彻底：
rho_c = 8.52e-27 # 3.2 节算出的临界密度 kg/m^3 rho_dm = 0.12 / 0.6736 ** 2 * rho_c # 宇宙平均暗物质密度 m100 = 100e9 * 1.602e-19 / (2.998e8) ** 2 # 100 GeV 的千克数 n0 = rho_dm / m100 / 1e6 print("宇宙平均 rho_dm = %.2e kg/m^3" % rho_dm) print("m=100 GeV -> n = %.2e 个/cm^3" % n0) print("光子 411 个/cm^3 -> 粒子数只剩光子的 %.1e" % (n0 / 411))
输出：
宇宙平均 rho_dm = 2.25e-27 kg/m^3 m=100 GeV -> n = 1.26e-08 个/cm^3 光子 411 个/cm^3 -> 粒子数只剩光子的 3.1e-11
湮灭把粒子数压缩到光子的三千亿分之一，效率高得吓人——这也是"暗物质曾与普通物质平起平坐"的直接证据。
操作提示：把这套公式当筛选器的正确姿势是"先报截面，再谈身份"。任何新候选上台，第一件事就是报出自己的今日丰度：热遗迹路线报 ⟨σv⟩，非热路线报产生机制的积分产额。丰度对不上 0.12 的，后续探测方案再漂亮也只是"另一个粒子"，不配占用这桩悬案的档案位。
解读：公式的边界
三条边界要心里有数。其一，3×10⁻²⁷ 是 s 波湮灭、刚性冻结的近似，p 波湮灭（截面随速度变化）与共湮灭都会改系数，但"丰度反比截面"的骨架不动。其二，公式只管热遗迹——轴子的失谐产生、原初黑洞的坍缩产生不在此列，各有各的丰度公式（第4章分案处理）。其三，冻结后并非高枕无忧：若粒子不稳定（如某些惰性中微子方案），今日丰度还要再乘衰减因子。边界之内，这个公式是候选粒子世界的第一道闸门——任何热遗迹候选，先报截面，再谈其他。
本节要点回顾
- 三幕剧本：平衡、退耦、冻结；判据 Γ = H，冻结在温度约 m/20 处。
- 标度律：Ωh² ≈ 3×10⁻²⁷/⟨σv⟩，丰度反比于湮灭截面。
- 弱尺度巧合：电弱理论估算截面 1.3×10⁻²⁶ cm³/s，与所需量级吻合（WIMP 奇迹）。
- 今日余量：宇宙平均数密度 1.3×10⁻⁸/cm³（100 GeV 口径），为光子的三千亿分之一。
画像与出身理论都齐了。下一章开列嫌疑人名册——每个候选者都要过这道丰度闸门，再加各自的审讯记录。