微积分

🏷sec_calculus

在2500年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。
为了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。
如 :numref:fig_circle_area所示，内接多边形的等长边越多，就越接近圆。
这个过程也被称为逼近法（method of exhaustion）。

🏷fig_circle_area

事实上，逼近法就是积分（integral calculus）的起源。
2000多年后，微积分的另一支，微分（differential calculus）被发明出来。
在微分学最重要的应用是优化问题，即考虑如何把事情做到最好。
正如在 :numref:subsec_norms_and_objectives中讨论的那样，
这种问题在深度学习中是无处不在的。

在深度学习中，我们“训练”模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。
通常情况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function），
即一个衡量“模型有多糟糕”这个问题的分数。
最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。
但“训练”模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。
因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：

• 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
• 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

为了帮助读者在后面的章节中更好地理解优化问题和方法，
本节提供了一个非常简短的入门教程，帮助读者快速掌握深度学习中常用的微分知识。

导数和微分

我们首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。
在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。
简而言之，对于每个参数，
如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少，

假设我们有一个函数f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}，其输入和输出都是标量。
(如果f的导数存在，这个极限被定义为)

(

如果f'(a)存在，则称f在a处是可微（differentiable）的。
如果f在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。
我们可以将 :eqref:eq_derivative中的导数f'(x)解释为f(x)相对于x的瞬时（instantaneous）变化率。
所谓的瞬时变化率是基于x中的变化h，且h接近0。

为了更好地解释导数，让我们做一个实验。
(定义u=f(x)=3x^2-4x)如下：

%matplotlib inline
from d2l import mxnet as d2l
from matplotlib_inline import backend_inline
from mxnet import np, npx
npx.set_np()

def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x
​

#@tab pytorch
%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
from matplotlib_inline import backend_inline
import numpy as np

def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x
​

#@tab tensorflow
%matplotlib inline
from d2l import tensorflow as d2l
from matplotlib_inline import backend_inline
import numpy as np

def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x
​

#@tab paddle
%matplotlib inline
from d2l import paddle as d2l
from matplotlib_inline import backend_inline
import numpy as np

def f(x):
    return 3 * x ** 2 - 4 * x
​

[通过令x=1并让h接近0，] :eqref:eq_derivative中(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}的数值结果接近2)。
虽然这个实验不是一个数学证明，但稍后会看到，当x=1时，导数u'是2。

#@tab all
def numerical_lim(f, x, h):
    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1
for i in range(5):
    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')
    h *= 0.1
​

让我们熟悉一下导数的几个等价符号。
给定y=f(x)，其中x和y分别是函数f的自变量和因变量。以下表达式是等价的：

其中符号\frac{d}{dx}和D是微分运算符，表示微分操作。
我们可以使用以下规则来对常见函数求微分：

• DC = 0（C是一个常数）
• Dx^n = nx^{n-1}（幂律（power rule），n是任意实数）
• De^x = e^x
• D\ln(x) = 1/x

为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。
假设函数f和g都是可微的，C是一个常数，则：

常数相乘法则

加法法则

乘法法则

除法法则

现在我们可以应用上述几个法则来计算u'=f'(x)=3\frac{d}{dx}x^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4。
令x=1，我们有u'=2：在这个实验中，数值结果接近2，
这一点得到了在本节前面的实验的支持。
当x=1时，此导数也是曲线u=f(x)切线的斜率。

[为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用matplotlib]，
这是一个Python中流行的绘图库。
要配置matplotlib生成图形的属性，我们需要(定义几个函数)。
在下面，use_svg_display函数指定matplotlib软件包输出svg图表以获得更清晰的图像。

注意，注释#@save是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在d2l包中。
因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如，d2l.use_svg_display()）。

#@tab all
def use_svg_display():  #@save
    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""
    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')
​

我们定义set_figsize函数来设置图表大小。
注意，这里可以直接使用d2l.plt，因为导入语句
from matplotlib import pyplot as plt已标记为保存到d2l包中。

#@tab all
def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save
    """设置matplotlib的图表大小"""
    use_svg_display()
    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize
​

下面的set_axes函数用于设置由matplotlib生成图表的轴的属性。

#@tab all
#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)
    axes.set_ylabel(ylabel)
    axes.set_xscale(xscale)
    axes.set_yscale(yscale)
    axes.set_xlim(xlim)
    axes.set_ylim(ylim)
    if legend:
        axes.legend(legend)
    axes.grid()
​

通过这三个用于图形配置的函数，定义一个plot函数来简洁地绘制多条曲线，
因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。

#@tab all
#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    """绘制数据点"""
    if legend is None:
        legend = []

    set_figsize(figsize)
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()

    # 如果X有一个轴，输出True
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)
                and not hasattr(X[0], "__len__"))

    if has_one_axis(X):
        X = [X]
    if Y is None:
        X, Y = [[]] * len(X), X
    elif has_one_axis(Y):
        Y = [Y]
    if len(X) != len(Y):
        X = X * len(Y)
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        if len(x):
            axes.plot(x, y, fmt)
        else:
            axes.plot(y, fmt)
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
​

现在我们可以[绘制函数u=f(x)及其在x=1处的切线y=2x-3]，
其中系数2是切线的斜率。

#@tab all
x = np.arange(0, 3, 0.1)
plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])
​

偏导数

到目前为止，我们只讨论了仅含一个变量的函数的微分。
在深度学习中，函数通常依赖于许多变量。
因此，我们需要将微分的思想推广到多元函数（multivariate function）上。

设y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)是一个具有n个变量的函数。
y关于第i个参数x_i的偏导数（partial derivative）为：

为了计算\frac{\partial y}{\partial x_i}，
我们可以简单地将x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n看作常数，
并计算y关于x_i的导数。
对于偏导数的表示，以下是等价的：

梯度

🏷subsec_calculus-grad

我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。
具体而言，设函数f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}的输入是
一个n维向量\mathbf{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n]^\top，并且输出是一个标量。
函数f(\mathbf{x})相对于\mathbf{x}的梯度是一个包含n个偏导数的向量:

其中\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})通常在没有歧义时被\nabla f(\mathbf{x})取代。

假设\mathbf{x}为n维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则:

• 对于所有\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}，都有\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{A}^\top
• 对于所有\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times m}，都有\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} = \mathbf{A}
• 对于所有\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}，都有\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = (\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top)\mathbf{x}
• \nabla_{\mathbf{x}} \|\mathbf{x} \|^2 = \nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{x} = 2\mathbf{x}

同样，对于任何矩阵\mathbf{X}，都有\nabla_{\mathbf{X}} \|\mathbf{X} \|_F^2 = 2\mathbf{X}。
正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。

链式法则

然而，上面方法可能很难找到梯度。
这是因为在深度学习中，多元函数通常是复合（composite）的，
所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。
幸运的是，链式法则可以被用来微分复合函数。

让我们先考虑单变量函数。假设函数y=f(u)和u=g(x)都是可微的，根据链式法则：

现在考虑一个更一般的场景，即函数具有任意数量的变量的情况。
假设可微分函数y有变量u_1, u_2, \ldots, u_m，其中每个可微分函数u_i都有变量x_1, x_2, \ldots, x_n。
注意，y是x_1, x_2， \ldots, x_n的函数。
对于任意i = 1, 2, \ldots, n，链式法则给出：

小结

• 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
• 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
• 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
• 链式法则可以用来微分复合函数。

练习

1. 绘制函数y = f(x) = x^3 - \frac{1}{x}和其在x = 1处切线的图像。
2. 求函数f(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 5e^{x_2}的梯度。
3. 函数f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_2的梯度是什么？
4. 尝试写出函数u = f(x, y, z)，其中x = x(a, b)，y = y(a, b)，z = z(a, b)的链式法则。

:begin_tab:mxnet
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:pytorch
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:tensorflow
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:paddle
Discussions
:end_tab: