概率

概率

🏷sec_prob

简单地说，机器学习就是做出预测。

根据病人的临床病史，我们可能想预测他们在下一年心脏病发作的概率。
在飞机喷气发动机的异常检测中，我们想要评估一组发动机读数为正常运行情况的概率有多大。
在强化学习中，我们希望智能体（agent）能在一个环境中智能地行动。
这意味着我们需要考虑在每种可行的行为下获得高奖励的概率。
当我们建立推荐系统时，我们也需要考虑概率。
例如，假设我们为一家大型在线书店工作，我们可能希望估计某些用户购买特定图书的概率。
为此，我们需要使用概率学。
有完整的课程、专业、论文、职业、甚至院系，都致力于概率学的工作。
所以很自然地，我们在这部分的目标不是教授整个科目。
相反，我们希望教给读者基础的概率知识，使读者能够开始构建第一个深度学习模型，
以便读者可以开始自己探索它。

现在让我们更认真地考虑第一个例子：根据照片区分猫和狗。
这听起来可能很简单，但对于机器却可能是一个艰巨的挑战。
首先，问题的难度可能取决于图像的分辨率。

:width:300px
🏷fig_cat_dog

如 :numref:fig_cat_dog所示，虽然人类很容易以160 \times 160像素的分辨率识别猫和狗，
但它在40\times40像素上变得具有挑战性，而且在10 \times 10像素下几乎是不可能的。
换句话说，我们在很远的距离（从而降低分辨率）区分猫和狗的能力可能会变为猜测。
概率给了我们一种正式的途径来说明我们的确定性水平。
如果我们完全肯定图像是一只猫，我们说标签y是"猫"的概率，表示为P(y="猫")等于1。
如果我们没有证据表明y=“猫”或y=“狗”，那么我们可以说这两种可能性是相等的，
即P(y="猫")=P(y="狗")=0.5。
如果我们不十分确定图像描绘的是一只猫，我们可以将概率赋值为0.5<P(y="猫")<1。

现在考虑第二个例子：给出一些天气监测数据，我们想预测明天北京下雨的概率。
如果是夏天，下雨的概率是0.5。

在这两种情况下，我们都不确定结果，但这两种情况之间有一个关键区别。
在第一种情况中，图像实际上是狗或猫二选一。
在第二种情况下，结果实际上是一个随机的事件。
因此，概率是一种灵活的语言，用于说明我们的确定程度，并且它可以有效地应用于广泛的领域中。

基本概率论

假设我们掷骰子，想知道看到1的几率有多大，而不是看到另一个数字。
如果骰子是公平的，那么所有六个结果\{1, \ldots, 6\}都有相同的可能发生，
因此我们可以说1发生的概率为\frac{1}{6}。

然而现实生活中，对于我们从工厂收到的真实骰子，我们需要检查它是否有瑕疵。
检查骰子的唯一方法是多次投掷并记录结果。
对于每个骰子，我们将观察到\{1, \ldots, 6\}中的一个值。
对于每个值，一种自然的方法是将它出现的次数除以投掷的总次数，
即此事件（event）概率的估计值。
大数定律（law of large numbers）告诉我们：
随着投掷次数的增加，这个估计值会越来越接近真实的潜在概率。
让我们用代码试一试！

首先，我们导入必要的软件包。

%matplotlib inline
from d2l import mxnet as d2l
from mxnet import np, npx
import random
npx.set_np()
​

#@tab pytorch
%matplotlib inline
from d2l import torch as d2l
import torch
from torch.distributions import multinomial
​

#@tab tensorflow
%matplotlib inline
from d2l import tensorflow as d2l
import tensorflow as tf
import tensorflow_probability as tfp
import numpy as np
​

#@tab paddle
%matplotlib inline
from d2l import paddle as d2l
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")
import paddle
import random
import numpy as np
​

在统计学中，我们把从概率分布中抽取样本的过程称为抽样（sampling）。
笼统来说，可以把分布（distribution）看作对事件的概率分配，
稍后我们将给出的更正式定义。
将概率分配给一些离散选择的分布称为多项分布（multinomial distribution）。

为了抽取一个样本，即掷骰子，我们只需传入一个概率向量。
输出是另一个相同长度的向量：它在索引i处的值是采样结果中i出现的次数。

fair_probs = [1.0 / 6] * 6
np.random.multinomial(1, fair_probs)
​

#@tab pytorch
fair_probs = torch.ones([6]) / 6
multinomial.Multinomial(1, fair_probs).sample()
​

#@tab tensorflow
fair_probs = tf.ones(6) / 6
tfp.distributions.Multinomial(1, fair_probs).sample()
​

#@tab paddle
fair_probs = [1.0 / 6] * 6
paddle.distribution.Multinomial(1, paddle.to_tensor(fair_probs)).sample()
​

在估计一个骰子的公平性时，我们希望从同一分布中生成多个样本。
如果用Python的for循环来完成这个任务，速度会慢得惊人。
因此我们使用深度学习框架的函数同时抽取多个样本，得到我们想要的任意形状的独立样本数组。

np.random.multinomial(10, fair_probs)
​

#@tab pytorch
multinomial.Multinomial(10, fair_probs).sample()
​

#@tab tensorflow
tfp.distributions.Multinomial(10, fair_probs).sample()
​

#@tab paddle
paddle.distribution.Multinomial(10, paddle.to_tensor(fair_probs)).sample()
​

现在我们知道如何对骰子进行采样，我们可以模拟1000次投掷。
然后，我们可以统计1000次投掷后，每个数字被投中了多少次。
具体来说，我们计算相对频率，以作为真实概率的估计。

counts = np.random.multinomial(1000, fair_probs).astype(np.float32)
counts / 1000
​

#@tab pytorch
# 将结果存储为32位浮点数以进行除法
counts = multinomial.Multinomial(1000, fair_probs).sample()
counts / 1000  # 相对频率作为估计值
​

#@tab tensorflow
counts = tfp.distributions.Multinomial(1000, fair_probs).sample()
counts / 1000
​

#@tab paddle
counts = paddle.distribution.Multinomial(1000, paddle.to_tensor(fair_probs)).sample()
counts / 1000
​

因为我们是从一个公平的骰子中生成的数据，我们知道每个结果都有真实的概率\frac{1}{6}，
大约是0.167，所以上面输出的估计值看起来不错。

我们也可以看到这些概率如何随着时间的推移收敛到真实概率。
让我们进行500组实验，每组抽取10个样本。

counts = np.random.multinomial(10, fair_probs, size=500)
cum_counts = counts.astype(np.float32).cumsum(axis=0)
estimates = cum_counts / cum_counts.sum(axis=1, keepdims=True)

d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
    d2l.plt.plot(estimates[:, i].asnumpy(),
                 label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend();
​

#@tab pytorch
counts = multinomial.Multinomial(10, fair_probs).sample((500,))
cum_counts = counts.cumsum(dim=0)
estimates = cum_counts / cum_counts.sum(dim=1, keepdims=True)

d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
    d2l.plt.plot(estimates[:, i].numpy(),
                 label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend();
​

#@tab tensorflow
counts = tfp.distributions.Multinomial(10, fair_probs).sample(500)
cum_counts = tf.cumsum(counts, axis=0)
estimates = cum_counts / tf.reduce_sum(cum_counts, axis=1, keepdims=True)

d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
    d2l.plt.plot(estimates[:, i].numpy(),
                 label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend();
​

#@tab paddle
counts = paddle.distribution.Multinomial(10, paddle.to_tensor(fair_probs)).sample((500,1))
cum_counts = counts.cumsum(axis=0)
cum_counts = cum_counts.squeeze(axis=1)
estimates = cum_counts / cum_counts.sum(axis=1, keepdim=True)

d2l.set_figsize((6, 4.5))
for i in range(6):
    d2l.plt.plot(estimates[:, i],
                 label=("P(die=" + str(i + 1) + ")"))
d2l.plt.axhline(y=0.167, color='black', linestyle='dashed')
d2l.plt.gca().set_xlabel('Groups of experiments')
d2l.plt.gca().set_ylabel('Estimated probability')
d2l.plt.legend()
​

每条实线对应于骰子的6个值中的一个，并给出骰子在每组实验后出现值的估计概率。
当我们通过更多的实验获得更多的数据时，这6条实体曲线向真实概率收敛。

概率论公理

在处理骰子掷出时，我们将集合\mathcal{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}
称为样本空间（sample space）或结果空间（outcome space），
其中每个元素都是结果（outcome）。
事件（event）是一组给定样本空间的随机结果。
例如，“看到5”（\{5\}）和“看到奇数”（\{1, 3, 5\}）都是掷出骰子的有效事件。
注意，如果一个随机实验的结果在\mathcal{A}中，则事件\mathcal{A}已经发生。
也就是说，如果投掷出3点，因为3 \in \{1, 3, 5\}，我们可以说，“看到奇数”的事件发生了。

概率（probability）可以被认为是将集合映射到真实值的函数。
在给定的样本空间\mathcal{S}中，事件\mathcal{A}的概率，
表示为P(\mathcal{A})，满足以下属性：

• 对于任意事件\mathcal{A}，其概率从不会是负数，即P(\mathcal{A}) \geq 0；
• 整个样本空间的概率为1，即P(\mathcal{S}) = 1；
• 对于互斥（mutually exclusive）事件（对于所有i \neq j都有\mathcal{A}_i \cap \mathcal{A}_j = \emptyset）的任意一个可数序列\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots，序列中任意一个事件发生的概率等于它们各自发生的概率之和，即P(\bigcup_{i=1}^{\infty} \mathcal{A}_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(\mathcal{A}_i)。

以上也是概率论的公理，由科尔莫戈罗夫于1933年提出。
有了这个公理系统，我们可以避免任何关于随机性的哲学争论；
相反，我们可以用数学语言严格地推理。
例如，假设事件\mathcal{A}_1为整个样本空间，
且当所有i > 1时的\mathcal{A}_i = \emptyset，
那么我们可以证明P(\emptyset) = 0，即不可能发生事件的概率是0。

随机变量

在我们掷骰子的随机实验中，我们引入了随机变量（random variable）的概念。
随机变量几乎可以是任何数量，并且它可以在随机实验的一组可能性中取一个值。
考虑一个随机变量X，其值在掷骰子的样本空间\mathcal{S}=\{1,2,3,4,5,6\}中。
我们可以将事件“看到一个5”表示为\{X=5\}或X=5，
其概率表示为P(\{X=5\})或P(X=5)。
通过P(X=a)，我们区分了随机变量X和X可以采取的值（例如a）。
然而，这可能会导致繁琐的表示。
为了简化符号，一方面，我们可以将P(X)表示为随机变量X上的分布（distribution）：
分布告诉我们X获得某一值的概率。
另一方面，我们可以简单用P(a)表示随机变量取值a的概率。
由于概率论中的事件是来自样本空间的一组结果，因此我们可以为随机变量指定值的可取范围。
例如，P(1 \leq X \leq 3)表示事件\{1 \leq X \leq 3\}，
即\{X = 1, 2, \text{or}, 3\}的概率。
等价地，P(1 \leq X \leq 3)表示随机变量X从\{1, 2, 3\}中取值的概率。

请注意，离散（discrete）随机变量（如骰子的每一面）
和连续（continuous）随机变量（如人的体重和身高）之间存在微妙的区别。
现实生活中，测量两个人是否具有完全相同的身高没有太大意义。
如果我们进行足够精确的测量，最终会发现这个星球上没有两个人具有完全相同的身高。
在这种情况下，询问某人的身高是否落入给定的区间，比如是否在1.79米和1.81米之间更有意义。
在这些情况下，我们将这个看到某个数值的可能性量化为密度（density）。
高度恰好为1.80米的概率为0，但密度不是0。
在任何两个不同高度之间的区间，我们都有非零的概率。
在本节的其余部分中，我们将考虑离散空间中的概率。
连续随机变量的概率可以参考深度学习数学附录中随机变量
的一节。

处理多个随机变量

很多时候，我们会考虑多个随机变量。
比如，我们可能需要对疾病和症状之间的关系进行建模。
给定一个疾病和一个症状，比如“流感”和“咳嗽”，以某个概率存在或不存在于某个患者身上。
我们需要估计这些概率以及概率之间的关系，以便我们可以运用我们的推断来实现更好的医疗服务。

再举一个更复杂的例子：图像包含数百万像素，因此有数百万个随机变量。
在许多情况下，图像会附带一个标签（label），标识图像中的对象。
我们也可以将标签视为一个随机变量。
我们甚至可以将所有元数据视为随机变量，例如位置、时间、光圈、焦距、ISO、对焦距离和相机类型。
所有这些都是联合发生的随机变量。
当我们处理多个随机变量时，会有若干个变量是我们感兴趣的。

联合概率

第一个被称为联合概率（joint probability）P(A=a,B=b)。
给定任意值a和b，联合概率可以回答：A=a和B=b同时满足的概率是多少？
请注意，对于任何a和b的取值，P(A = a, B=b) \leq P(A=a)。
这点是确定的，因为要同时发生A=a和B=b，A=a就必须发生，B=b也必须发生（反之亦然）。因此，A=a和B=b同时发生的可能性不大于A=a或是B=b单独发生的可能性。

条件概率

联合概率的不等式带给我们一个有趣的比率：
0 \leq \frac{P(A=a, B=b)}{P(A=a)} \leq 1。
我们称这个比率为条件概率（conditional probability），
并用P(B=b \mid A=a)表示它：它是B=b的概率，前提是A=a已发生。

贝叶斯定理

使用条件概率的定义，我们可以得出统计学中最有用的方程之一：
Bayes定理（Bayes' theorem）。
根据乘法法则（multiplication rule ）可得到P(A, B) = P(B \mid A) P(A)。
根据对称性，可得到P(A, B) = P(A \mid B) P(B)。
假设P(B)>0，求解其中一个条件变量，我们得到

请注意，这里我们使用紧凑的表示法：
其中P(A, B)是一个联合分布（joint distribution），
P(A \mid B)是一个条件分布（conditional distribution）。
这种分布可以在给定值A = a, B=b上进行求值。

边际化

为了能进行事件概率求和，我们需要求和法则（sum rule），
即B的概率相当于计算A的所有可能选择，并将所有选择的联合概率聚合在一起：

这也称为边际化（marginalization）。
边际化结果的概率或分布称为边际概率（marginal probability）
或边际分布（marginal distribution）。

独立性

另一个有用属性是依赖（dependence）与独立（independence）。
如果两个随机变量A和B是独立的，意味着事件A的发生跟B事件的发生无关。
在这种情况下，统计学家通常将这一点表述为A \perp B。
根据贝叶斯定理，马上就能同样得到P(A \mid B) = P(A)。
在所有其他情况下，我们称A和B依赖。
比如，两次连续抛出一个骰子的事件是相互独立的。
相比之下，灯开关的位置和房间的亮度并不是（因为可能存在灯泡坏掉、电源故障，或者开关故障）。

由于P(A \mid B) = \frac{P(A, B)}{P(B)} = P(A)等价于P(A, B) = P(A)P(B)，
因此两个随机变量是独立的，当且仅当两个随机变量的联合分布是其各自分布的乘积。
同样地，给定另一个随机变量C时，两个随机变量A和B是条件独立的（conditionally independent），
当且仅当P(A, B \mid C) = P(A \mid C)P(B \mid C)。
这个情况表示为A \perp B \mid C。

应用

🏷subsec_probability_hiv_app

我们实战演练一下！
假设一个医生对患者进行艾滋病病毒（HIV）测试。
这个测试是相当准确的，如果患者健康但测试显示他患病，这个概率只有1%；
如果患者真正感染HIV，它永远不会检测不出。
我们使用D_1来表示诊断结果（如果阳性，则为1，如果阴性，则为0），
H来表示感染艾滋病病毒的状态（如果阳性，则为1，如果阴性，则为0）。
在 :numref:conditional_prob_D1中列出了这样的条件概率。

:条件概率为P(D_1 \mid H)

请注意，每列的加和都是1（但每行的加和不是），因为条件概率需要总和为1，就像概率一样。
让我们计算如果测试出来呈阳性，患者感染HIV的概率，即P(H = 1 \mid D_1 = 1)。
显然，这将取决于疾病有多常见，因为它会影响错误警报的数量。
假设人口总体是相当健康的，例如，P(H=1) = 0.0015。
为了应用贝叶斯定理，我们需要运用边际化和乘法法则来确定

因此，我们得到

换句话说，尽管使用了非常准确的测试，患者实际上患有艾滋病的几率只有13.06%。
正如我们所看到的，概率可能是违反直觉的。

患者在收到这样可怕的消息后应该怎么办？
很可能，患者会要求医生进行另一次测试来确定病情。
第二个测试具有不同的特性，它不如第一个测试那么精确，
如 :numref:conditional_prob_D2所示。

:条件概率为P(D_2 \mid H)

不幸的是，第二次测试也显示阳性。让我们通过假设条件独立性来计算出应用Bayes定理的必要概率：

现在我们可以应用边际化和乘法规则：

最后，鉴于存在两次阳性检测，患者患有艾滋病的概率为

也就是说，第二次测试使我们能够对患病的情况获得更高的信心。
尽管第二次检验比第一次检验的准确性要低得多，但它仍然显著提高我们的预测概率。

期望和方差

为了概括概率分布的关键特征，我们需要一些测量方法。
一个随机变量X的期望（expectation，或平均值（average））表示为

当函数f(x)的输入是从分布P中抽取的随机变量时，f(x)的期望值为

在许多情况下，我们希望衡量随机变量X与其期望值的偏置。这可以通过方差来量化

方差的平方根被称为标准差（standard deviation）。
随机变量函数的方差衡量的是：当从该随机变量分布中采样不同值x时，
函数值偏离该函数的期望的程度：

小结

• 我们可以从概率分布中采样。
• 我们可以使用联合分布、条件分布、Bayes定理、边缘化和独立性假设来分析多个随机变量。
• 期望和方差为概率分布的关键特征的概括提供了实用的度量形式。

练习

1. 进行m=500组实验，每组抽取n=10个样本。改变m和n，观察和分析实验结果。
2. 给定两个概率为P(\mathcal{A})和P(\mathcal{B})的事件，计算P(\mathcal{A} \cup \mathcal{B})和P(\mathcal{A} \cap \mathcal{B})的上限和下限。（提示：使用友元图来展示这些情况。)
3. 假设我们有一系列随机变量，例如A、B和C，其中B只依赖于A，而C只依赖于B，能简化联合概率P(A, B, C)吗？（提示：这是一个马尔可夫链。)
4. 在 :numref:subsec_probability_hiv_app中，第一个测试更准确。为什么不运行第一个测试两次，而是同时运行第一个和第二个测试?

:begin_tab:mxnet
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:pytorch
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:tensorflow
Discussions
:end_tab:

:begin_tab:paddle
Discussions
:end_tab: