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279.完全平方数

力扣题目链接

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

• 输入：n = 12
• 输出：3
• 解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

• 输入：n = 13
• 输出：2
• 解释：13 = 4 + 9

提示：

• 1 <= n <= 10^4

算法公开课

《代码随想录》算法视频公开课：，相信结合视频再看本篇题解，更有助于大家对本题的理解。

思路

可能刚看这种题感觉没啥思路，又平方和的，又最小数的。

我来把题目翻译一下：完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

感受出来了没，这么浓厚的完全背包氛围，而且和昨天的题目动态规划：322. 零钱兑换就是一样一样的！

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]

2. 确定递推公式

dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。

此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);

3. dp数组如何初始化

dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。

有同学问题，那0 * 0 也算是一种啊，为啥dp[0] 就是 0呢？

看题目描述，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...），题目描述中可没说要从0开始，dp[0]=0完全是为了递推公式。

非0下标的dp[j]应该是多少呢？

从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4. 确定遍历顺序

我们知道这是完全背包，

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

在动态规划：322. 零钱兑换中我们就深入探讨了这个问题，本题也是一样的，是求最小数！

所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！

我这里先给出外层遍历背包，内层遍历物品的代码：

vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
        dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
    }
}

​

5. 举例推导dp数组

已输入n为5例，dp状态图如下：

dp[0] = 0
dp[1] = min(dp[0] + 1) = 1
dp[2] = min(dp[1] + 1) = 2
dp[3] = min(dp[2] + 1) = 3
dp[4] = min(dp[3] + 1, dp[0] + 1) = 1
dp[5] = min(dp[4] + 1, dp[1] + 1) = 2

最后的dp[n]为最终结果。

以上动规五部曲分析完毕C++代码如下：

// 版本一
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
                dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
​

• 时间复杂度: O(n * √n)
• 空间复杂度: O(n)

同样我在给出先遍历物品，在遍历背包的代码，一样的可以AC的。

// 版本二
class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
            for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
​

• 同上

总结

如果大家认真做了昨天的题目动态规划：322. 零钱兑换，今天这道就非常简单了，一样的套路一样的味道。

但如果没有按照「代码随想录」的题目顺序来做的话，做动态规划或者做背包问题，上来就做这道题，那还是挺难的！

经过前面的训练这道题已经是简单题了

其他语言版本

Java：

class Solution {
    // 版本一，先遍历物品, 再遍历背包
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        //初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
	//如果不想要寫for-loop填充數組的話，也可以用JAVA內建的Arrays.fill()函數。
	//Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
	
        //当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历物品
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            // 遍历背包
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                //if (dp[j - i * i] != max) {
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
                //}
		//不需要這個if statement，因爲在完全平方數這一題不會有"湊不成"的狀況發生（ 一定可以用"1"來組成任何一個n），故comment掉這個if statement。
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

class Solution {
    // 版本二， 先遍历背包, 再遍历物品
    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            dp[j] = max;
        }
        // 当和为0时，组合的个数为0
        dp[0] = 0;
        // 遍历背包
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 遍历物品
            for (int i = 1; i * i <= j; i++) {
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}
​

Python：

先遍历背包, 再遍历物品

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        dp[0] = 0

        for i in range(1, n + 1):  # 遍历背包
            for j in range(1, int(i ** 0.5) + 1):  # 遍历物品
                # 更新凑成数字 i 所需的最少完全平方数数量
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)

        return dp[n]

​

先遍历物品, 再遍历背包

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        dp[0] = 0

        for i in range(1, int(n ** 0.5) + 1):  # 遍历物品
            for j in range(i * i, n + 1):  # 遍历背包
                # 更新凑成数字 j 所需的最少完全平方数数量
                dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])

        return dp[n]


​

其他版本

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        # 创建动态规划数组，初始值为最大值
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        # 初始化已知情况
        dp[0] = 0

        # 遍历背包容量
        for i in range(1, n + 1):
            # 遍历完全平方数作为物品
            j = 1
            while j * j <= i:
                # 更新最少完全平方数的数量
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
                j += 1

        # 返回结果
        return dp[n]

​

class Solution(object):
    def numSquares(self, n):
        # 先把可以选的数准备好，更好理解
        nums, num = [], 1
        while num ** 2 <= n:
            nums.append(num ** 2)
            num += 1
        # dp数组初始化
        dp = [float('inf')] * (n + 1)
        dp[0] = 0

        # 遍历准备好的完全平方数
        for i in range(len(nums)):
            # 遍历背包容量
            for j in range(nums[i], n+1):
                dp[j] = min(dp[j], dp[j-nums[i]]+1)
        # 返回结果
        return dp[-1]
        

​

Go：

// 版本一,先遍历物品, 再遍历背包
func numSquares1(n int) int {
	//定义
	dp := make([]int, n+1)
	// 初始化
	dp[0] = 0
	for i := 1; i <= n; i++ {
		dp[i] = math.MaxInt32
	}
	// 遍历物品
	for i := 1; i <= n; i++ {
		// 遍历背包
		for j := i*i; j <= n; j++ {
			dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
		}
	}

	return dp[n]
}

// 版本二,先遍历背包, 再遍历物品
func numSquares2(n int) int {
	//定义
	dp := make([]int, n+1)
	// 初始化
	dp[0] = 0
	// 遍历背包
	for j := 1; j <= n; j++ {
		//初始化
		dp[j] = math.MaxInt32
		// 遍历物品
		for i := 1; i <= n; i++ {
			if j >= i*i {
				dp[j] = min(dp[j], dp[j-i*i]+1)
			}
		}
	}

	return dp[n]
}

func min(a, b int) int {
	if a < b {
		return a
	}
	return b
}
​

Javascript:

// 先遍历物品，再遍历背包
var numSquares1 = function(n) {
    let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
    dp[0] = 0

    for(let i = 1; i**2 <= n; i++) {
        let val = i**2
        for(let j = val; j <= n; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - val] + 1)
        }
    }
    return dp[n]
};
// 先遍历背包，再遍历物品
var numSquares2 = function(n) {
    let dp = new Array(n + 1).fill(Infinity)
    dp[0] = 0

    for(let i = 1; i <= n; i++) {
        for(let j = 1; j * j <= i; j++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - j * j] + 1, dp[i])
        }
    }

    return dp[n]
};
​

TypeScript：

// 先遍历物品
function numSquares(n: number): number {
    const goodsNum: number = Math.floor(Math.sqrt(n));
    const dp: number[] = new Array(n + 1).fill(Infinity);
    dp[0] = 0;
    for (let i = 1; i <= goodsNum; i++) {
        const tempVal: number = i * i;
        for (let j = tempVal; j <= n; j++) {
            dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - tempVal] + 1);
        }
    }
    return dp[n];
};
​

// 先遍历背包
function numSquares(n: number): number {
  const dp = Array(n + 1).fill(Infinity)
  dp[0] = 0;
  for(let i = 1; i <= n; i++){
      for(let j = 1; j * j <= i; j++){
          dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i -j * j] + 1)
      }
  }
  return dp[n]
};
​

C

#define min(a, b) ((a) > (b) ? (b) : (a))

int numSquares(int n) {
    int* dp = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));
    for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
        dp[j] = INT_MAX;
    }
    dp[0] = 0;
     // 遍历背包
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        // 遍历物品
        for (int j = 1; j * j <= i; ++j) {
            dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
        }
    }
    return dp[n];
}
​

Rust:

// 先遍历背包
impl Solution {
    pub fn num_squares(n: i32) -> i32 {
        let n = n as usize;
        let mut dp = vec![i32::MAX; n + 1];
        dp[0] = 0;
        for i in 0..=n {
            let mut j = 1;
            loop {
                match j * j > i {
                    true => break,
                    false => dp[i] = dp[i].min(dp[i - j * j] + 1),
                }
                j += 1;
            }
        }
        dp[n]
    }
}
​

// 先遍历物品
impl Solution {
    pub fn num_squares(n: i32) -> i32 {
        let (n, mut goods) = (n as usize, 1);
        let mut dp = vec![i32::MAX; n + 1];
        dp[0] = 0;
        loop {
            if goods * goods > n {
                break;
            }
            for j in goods * goods..=n {
                dp[j] = dp[j].min(dp[j - goods * goods] + 1);
            }
            goods += 1;
        }
        dp[n]
    }
}
​