2.4 相似性度量（Similarity Metrics）

在体系位置里，这一节是第二章的收口，也是整个"查向量"的底层逻辑：两点之间的距离怎么算，不同算法适合什么数据。这一节我们亲手算三种度量，看数值差异意味着什么。

历史角度切入

早期信息检索用"词频重合"衡量相关，后来发现方向比长度更重要——于是余弦相似度成了文本向量的默认选择。但向量数据库不止余弦，内积和欧氏距离各有主场。理解三者，你才能在 Chroma 里选对 metadata 之外的那层排序依据。

三种度量亲手算

import numpy as np
def cosine(a, b):
    return float(np.dot(a, b) / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b)))
def inner(a, b):
    return float(np.dot(a, b))
def euclid(a, b):
    return float(np.linalg.norm(np.array(a) - np.array(b)))

a = [1.0, 2.0, 3.0]
b = [2.0, 4.0, 6.0]   # 与 a 同向, 长度翻倍
c = [3.0, 0.0, 0.0]   # 与 a 不同向
print("余弦 a,b:", round(cosine(a, b), 3), " a,c:", round(cosine(a, c), 3))
print("内积 a,b:", round(inner(a, b), 3), " a,c:", round(inner(a, c), 3))
print("欧氏 a,b:", round(euclid(a, b), 3), " a,c:", round(euclid(a, c), 3))
## 余弦 a,b: 1.0  a,c: 0.801
## 内积 a,b: 28.0  a,c: 3.0
## 欧氏 a,b: 3.742  a,c: 3.742
​

解读：a 和 b 方向完全相同，余弦=1；但内积因 b 更长而更大；欧氏距离只看空间离多远，a-b 和 a-c 碰巧一样远。三种度量关心的"近"不是一回事。

Chroma 里怎么指定

Chroma 的 distance 度量在创建集合时定，可选 l2（欧氏）、cosine、ip（内积）。注意 Chroma 内部统一存距离（越小越近），余弦会被转成距离表达。

c = chromadb.Client()
col_cos = c.create_collection("by_cosine", metadata={"hnsw:space": "cosine"})
col_l2  = c.create_collection("by_l2",     metadata={"hnsw:space": "l2"})
col_cos.add(ids=["x"], documents=["猫和狗都是宠物"], embeddings=[[0.1,0.2,0.3]])
col_l2.add(ids=["x"], documents=["猫和狗都是宠物"], embeddings=[[0.1,0.2,0.3]])
## 查询时同一问题, 两种空间下的距离数值含义不同, 排序也可能不同
​

怎么选：一张对照

guide = {
    "cosine 余弦": "关心方向, 忽略长度; 文本嵌入默认, 适合大多数语义检索",
    "ip 内积":     "关心方向与长度; 嵌入已归一化时等价余弦, 否则偏好长向量",
    "l2 欧氏":     "关心绝对位置; 图像/数值特征常用, 对向量尺度敏感",
}
for k, v in guide.items():
    print(f"{k}: {v}")
## cosine 余弦: 关心方向, 忽略长度; 文本嵌入默认, 适合大多数语义检索
## ip 内积: 关心方向与长度; 嵌入已归一化时等价余弦, 否则偏好长向量
## l2 欧氏: 关心绝对位置; 图像/数值特征常用, 对向量尺度敏感
​

案例：归一化如何改变内积

背景：团队用内积空间，发现长文档总被优先召回，短问题反而吃亏。

操作：在写入前对所有向量做 L2 归一化，使内积退化为余弦。

结果：长短文档回到同一尺度竞争，召回更公平。

解读：内积对长度敏感是特性也是坑；归一化是常用的"拉平"手段。

变式：若业务就是要"信息量大（长）的优先"，保留内积不归一化，反而成了特性。

我们看度量的取舍

度量不是越高级越好，而是越贴合数据分布越好。文本嵌入通常已隐含方向语义，余弦最稳；图像特征尺度不均，欧氏或归一化内积更合理。换度量等于换了"近"的定义，必须和嵌入模型、业务目标一起考虑，不能孤立调。

深度对照：三种度量的"性格"差异

Chroma 支持余弦、L2（欧氏）、内积三种距离度量。它们不是"哪个最准"的关系，而是"为不同数据分布量身定做"。余弦只看方向不看长度，适合文本（长文短文意思近就该近）；L2 看实际空间距离，对向量幅度敏感；内积在向量已归一化时近似余弦但计算更省。这像三种尺子：卷尺量长度、秤量重量、秒表量时间，挑错工具才会得出荒谬结论。

## 用示意说明三种度量的关注点(非运行代码)
metrics = {
    "cosine": {"关注": "方向", "忽略": "模长", "典型用途": "文本语义"},
    "l2":     {"关注": "空间距离", "忽略": "无", "典型用途": "归一化前原始向量"},
    "ip":     {"关注": "投影", "忽略": "需先归一化", "典型用途": "已归一化向量"},
}
for k, v in metrics.items():
    print(f"{k:7s} 关注={v['关注']} 用途={v['典型用途']}")
## cosine  关注=方向 用途=文本语义
## l2      关注=空间距离 用途=归一化前原始向量
## ip      关注=投影 用途=已归一化向量
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选错度量会怎样

若文本嵌入本该用余弦，却用了 L2，那么长文本的向量模长更大，会系统性地"离谁都远"，召回偏向短文本，语义公平性被破坏。这个 bug 不报错，只表现为"长内容总排后面"。这像用体重当身高排序，高个子若偏瘦就吃亏。

⚠️ 常见坑：一个 Collection 创建时定了余弦，之后换模型产出归一化不同的向量却没重建，距离分布漂移，召回质量 silently 下降。

💡 关键直觉：度量方式要在 Collection 创建时定好且全程不变。它是"距离的定义"，改定义等于改坐标系，旧向量全失准。

实践中的常见坑与关键直觉

• ⚠️ 混用不同度量解释结果：A 实验用余弦、B 实验用内积，拿两者的距离数值比大小是无意义的。
• ⚠️ 未归一化就上内积：内积对模长敏感，不归一化会被长度主导，先把向量归一化再考虑内积。
• 💡 文本场景默认余弦最稳，不纠结；只有在明确做了归一化且追求推理速度时，才切内积。
• 💡 把度量写进 Collection 的元数据备注，三个月后接手的人不会猜你当初为什么选它。

本节要点回顾：余弦看方向、内积含长度、欧氏看绝对位置；Chroma 在集合 metadata 用 hnsw:space 指定；文本默认余弦，内积敏感长度可用归一化拉平。度量选择须与嵌入模型和业务一起考虑。

⚠️ 集合创建后度量不能改——写错空间要重建集合，历史数据得重新导入。

💡 文本检索拿不准就用 cosine；若发现长文档总被偏袒，先怀疑内积未归一化而非模型问题。