5.1 广义坐标与虚功原理

5.1 广义坐标与虚功原理

本节摘要：约束越多，逐根标力的账越难算——难算的部分恰恰是约束反力，而它们往往不是题目要的答案。本节教两件事：用广义坐标把系统的运动自由度编号清点，用虚功原理绕开全部理想约束反力直接判平衡。这是分析力学语言的字母表与第一句话。

先数动作，再谈力

第一章把约束定义为"限制运动的几何条件"，第三章给每类约束配了反力画像。现在把视角倒过来：既然约束的作用只是削减运动的可能性，那就先数清"还剩几种独立动作"——这剩下的一组独立参数，就是广义坐标。平面上的自由质点要两个数，被钉在圆环上滑动的珠子只要一个角度，双摆在臂长固定后只剩两个角度。坐标选得好，约束就自动"长"在坐标里，方程里再也见不到它。

平衡判据也随之换代。第三章的平衡是合力为零、合力矩为零，几何复杂时投影与取矩的清单冗长；虚功原理一句话说完：平衡时，所有主动力在任意一组虚位移上做的总功为零。理想约束（光滑面、刚性杆、不可伸长绳）的反力在与虚位移配对时永远做零功，于是从判据里集体消失——这正是分析力学送给解题人的第一份厚礼。本节向上承接第一章的约束概念与第三章的平衡话题，向下为拉格朗日方程备好坐标系。

一、自由度清点与广义坐标选型

平面机构的自由度有一条清点公式：三个乘以构件数减一，再减去两倍的低副（销轴、滑块）个数。拿四连杆机构核一遍：四个构件（含机架）、四个转动副，自由度等于三乘三减八，剩一——给一个曲柄角度，整套机构的姿势就定了。清点不仅为了解题，更为选广义坐标：自由度是一，就选一个角度；是二，选两个互不牵扯的参数。

# 平面机构自由度清点：DOF = 3*(n-1) - 2*j - j_高副
def dof_plane(n, j_low, j_high=0):
    return 3 * (n - 1) - 2 * j_low - j_high

cases = [
    ("四连杆机构", 4, 4, 0),      # 含机架共 4 构件，4 个转动副
    ("曲柄滑块",   4, 4, 0),      # 转副三个加滑块副一个
    ("凸轮顶杆",   3, 1, 1),      # 1 个转动副 + 1 个高副接触
    ("五杆铰链",   5, 5, 0),      # 欠驱动机构
]
for name, n, jl, jh in cases:
    print(f"{name}: 自由度 = {dof_plane(n, jl, jh)}")
# 四连杆机构: 自由度 = 1
# 曲柄滑块: 自由度 = 1
# 凸轮顶杆: 自由度 = 1
# 五杆铰链: 自由度 = 2
# 双摆清点：两个质点四个坐标，两根刚性杆各吃掉一个约束，剩 2
print("双摆自由度 = 4 - 2 =", 4 - 2)   # 2：两个直角坐标被两根定长杆收走
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五杆铰链那行值得多看一眼：自由度是二，意味着必须给它两台电机或一个电机加一个弹性件，机构才能确定地动——自由度清点直接变成驱动配置清单，这是机构设计里虚功语言最日常的兑现。

二、虚功原理动手：滑轮组与杠杆一账通吃

虚功原理的用法是给系统一个想象中的小位移（虚位移），算所有主动力做的总功，令其为零。滑轮组是最漂亮的示范：动滑轮上吊重物，绳子收缩一小段，重物只升高一半——力省几倍，位移吃几倍，"省力不省功"在虚功账上一目了然。

# 虚功原理：滑轮组省力系数与杠杆平衡
# 滑轮组：n 段绳吊动滑轮，绳端拉力 F 使绳收缩 s，重物只升 s/n
W, n = 1200.0, 4                # 重物 1200 N，四段绳
F = W / n
print("滑轮组拉力 =", F, "N")              # 300.0
s_rope = 0.8                                # 手拉绳 0.8 m
s_load = s_rope / n
print("重物只上升 =", s_load, "m")          # 0.2
print("输入功 =", F * s_rope, "J  输出功 =", W * s_load, "J")  # 240.0 240.0
# 杠杆：支点两侧力臂与重量，虚功判据 F1*l1 = F2*l2
F2, l2, l1 = 900.0, 0.12, 0.9               # 900 N 的重物，阻力臂 12 cm
F1 = F2 * l2 / l1
print("杠杆施力 =", F1, "N")                # 120.0
# 虚功复核：压下 l1*θ 做功 vs 抬起 l2*θ 做功，任意 θ 相等即平衡
th = 0.01
print("虚功差 =", F1 * l1 * th - F2 * l2 * th)   # 0.0
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两台病例里"省的力"与"吃的位移"严格互为倒数，虚功差恒为零——平衡不是力的妥协，而是功的守恒在虚拟位移上的兑现。第三章的杠杆与滑轮结论，在这里被一个判据统一收编。

⚠️ 常见坑：给非理想约束（带摩擦的滑轮、有弹性的绳）套用虚功原理时忘了把摩擦力算进"主动力"清单。理想约束的反力可以隐身，摩擦力不行——它做实功，一笔都不能少。

三、广义力：虚功原理的记账货币

虚功原理还能再压缩一步。把主动力在广义坐标虚位移上做的功，除以对应的虚位移，得到的量叫广义力——它可以是一根力、一个力矩，甚至一段压强，量纲随坐标类型而变。引入广义力后，平衡判据浓缩成一句话：每个广义坐标上的广义力为零。多自由度系统因此受益最大：几个自由度就写几条"广义力为零"，清单整齐得像查表。

# 广义力示范：曲柄压杆机构。曲柄角 θ 为广义坐标，曲柄上力矩 M 驱动，滑块上阻力 F
# 虚功：M*dθ - F*ds = 0，s 与 θ 的关系 s = r*cosθ（r 为曲柄长）
import math
r, M, F = 0.25, 40.0, 200.0     # 曲柄长 m、驱动力矩 N·m、滑块阻力 N
# 广义力 Qθ = M - F*ds/dθ = M - F*(-r*sinθ) = M + F*r*sinθ
for deg in (10.0, 30.0, 53.13):
    th = math.radians(deg)
    Q = M + F * r * math.sin(th)
    print(f"θ={deg:6.2f} 度  广义力 Qθ = {Q:8.3f} N·m")
# θ= 10.00 度  广义力 Qθ =  48.682 N·m
# θ= 30.00 度  广义力 Qθ =  65.000 N·m
# θ= 53.13 度  广义力 Qθ =  80.000 N·m
# 平衡要 Qθ=0：本题 M 与阻力同号相加，说明驱动力矩方向取反后平衡在 sinθ = M/(F*r) = 0.2
print("平衡角 =", round(math.degrees(math.asin(0.2)), 3), "度")   # 11.537
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广义力的妙处在"货币统一"：力矩与力本来量纲不同，折到同一广义坐标上就能直接加减，机构平衡从几何难题变成一笔标量账。下一节的拉格朗日方程沿用同一套货币，只是把"广义力为零"升级成"广义力驱动广义动量"。

要点复盘：

• 广义坐标是自由度的编号：约束先长进坐标里，方程里才见不到反力；
• 自由度清点是设计动作：四连杆一、双摆二、五杆欠一，清点结果直接指挥驱动配置；
• 虚功原理让理想约束隐身：平衡即主动力的虚功总和为零，投影与取矩的清单被一句话接管；
• 省力必费位移：滑轮组与杠杆的倍数关系在虚功账上严格互倒，"省力不省功"有了定量形式。

坐标与静力判据备齐。下一节把它们推上动力学：动能减势能写成拉格朗日量，一条模板方程管住所有自由度。