5.2 拉格朗日方程与哈密顿原理

5.2 拉格朗日方程与哈密顿原理

本节摘要：把系统的动能减势能写成一个标量——拉格朗日量，再套一条偏导模板，每个自由度自动产出一条运动方程。本节用单摆与作用量驻值两台手术演示这条流水线，并用数值演算验证：真实运动确实是作用量取驻值的那一条。

能量当原料，模板出方程

上一节备好了广义坐标，本节把它推上动力学。做法出人意料地省事：不再逐根标力，只写两个标量——动能与势能，相减得拉格朗日量；然后对每个广义坐标套同一张偏导模板，时间求导一项、减去坐标偏导一项，运动方程就自动成形。受力分析里最容易出错的两件事——约束反力的方向与投影的角度——在这里根本不出现，因为标量没有方向。约束越多、几何越拧巴的病例，这套语言的省力越明显。

这张模板不是拼凑出来的。哈密顿原理给它打了地基：真实运动是让作用量（拉格朗日量对时间的积分）取驻值的那条路径。换句话说，力学规律从"牛顿规定的三条定律"变成"大自然在所有可能轨迹里选出的那条驻值曲线"。本节先流水线演示，再用数值把"驻值"这两个字算给你看。

手术一：单摆的拉格朗日流水线

选摆角为广义坐标（定长杆把两个坐标吃剩一个），摆锤速度是摆长乘角速度，动能写成角速度平方的份额；以悬点为零势面，势能是质量乘重力加速度乘摆长乘一减余弦。两项相减套模板：对角速度偏导再对时间求导，减去对角度的偏导，方程一步到位。

# 手术一：单摆方程的数值验证。拉格朗日流水线给出 theta'' = -(g/l)*sin(theta)
import math
g, l = 9.8, 1.0

def simulate(theta0, dt=0.001, T=10.0):
    th, w = theta0, 0.0            # 角度与角速度，从静止释放
    n = int(T / dt)
    for _ in range(n):
        a = -(g / l) * math.sin(th)     # 拉格朗日方程的右端
        # 四阶龙格-库塔推进
        k1a, k1w = a, w
        k2a, k2w = -(g/l)*math.sin(th+dt/2*k1w), w+dt/2*k1a
        k3a, k3w = -(g/l)*math.sin(th+dt/2*k2w), w+dt/2*k2a
        k4a, k4w = -(g/l)*math.sin(th+dt*k3w), w+dt*k3a
        th += dt/6*(k1w+2*k2w+2*k3w+k4w)
        w  += dt/6*(k1a+2*k2a+2*k3a+k4a)
    return th, w

# 测大摆角周期：T = 4*sqrt(l/g)*K(k)，k 为 sin(初始角/2)，K 是完全椭圆积分
def period(theta0):
    k = math.sin(theta0 / 2)
    n = 20000
    s = 0.0
    for i in range(n):
        phi = math.pi / 2 * (i + 0.5) / n
        s += 1.0 / math.sqrt(1 - k * k * math.sin(phi) ** 2)
    K = math.pi / 2 * s / n
    return 4 * math.sqrt(l / g) * K

for th0 in (0.1, 1.0472, 1.5708):
    Tp = period(th0)
    Tsmall = 2 * math.pi * math.sqrt(l / g)
    print(f"初始角 {th0:6.4f} rad  精确周期 {Tp:.4f} s  小角公式 {Tsmall:.4f} s")
# 初始角 0.1000 rad  精确周期 2.0083 s  小角公式 2.0071 s
# 初始角 1.0472 rad  精确周期 2.1540 s  小角公式 2.0071 s
# 初始角 1.5708 rad  精确周期 2.3691 s  小角公式 2.0071 s
​

流水线写出的方程直接进了仿真。数值表顺带给出一个经典结论：摆角到六十度，周期已比小角公式长百分之七；九十度长近两成——小角近似不是"差不多对"，它的误差随摆角平方增长，拉格朗日方程给出的才是全角精确版。### 手术二：作用量驻值的数值演示

哈密顿原理说真实轨迹让作用量取驻值。找一台能算的病例：竖直上抛一小球。真实轨迹是抛物线，另造一族"同样从起点到终点"的弯曲轨迹（往抛物线上叠一个正弦鼓包），逐条算作用量。真实的与邻近的差别应远小于弯曲带来的变化——驻值不一定是极小，但一定是"一阶不动"。

# 手术二：上抛小球的作用量对比。L = 0.5*m*v^2 - m*g*y
import math
m, g, T = 1.0, 9.8, 2.0
y0, y1 = 0.0, 0.0                     # 起点、终点同一高度（恰好落回）

def action(amp, n=1000):
    # y(t) = 真实抛物线 + amp*sin(pi*t/T)（端点不动）
    s, dt = 0.0, T / n
    for i in range(n):
        t = (i + 0.5) * dt
        y = 0.5 * g * t * (T - t) + amp * math.sin(math.pi * t / T)
        vy = 0.5 * g * (T - 2 * t) + amp * (math.pi / T) * math.cos(math.pi * t / T)
        L = 0.5 * m * vy * vy - m * g * y
        s += L * dt
    return s

for amp in (-0.3, -0.1, 0.0, 0.1, 0.3):
    print(f"鼓包幅度 {amp:+5.2f} m  作用量 = {action(amp):10.4f} J·s")
# 鼓包幅度 -0.30 m  作用量 =   -31.9024 J·s
# 鼓包幅度 -0.10 m  作用量 =   -32.0011 J·s
# 鼓包幅度  0.00 m  作用量 =   -32.0134 J·s
# 鼓包幅度 +0.10 m  作用量 =   -32.0011 J·s
# 鼓包幅度 +0.30 m  作用量 =   -31.9024 J·s
​

看零幅度那一行两侧：鼓包零点一米时作用量只挪动约千分之四，而鼓包本身让轨迹中点抬高近三成——一阶变化为零，这正是"驻值"的含义。数字还透露更细的结构：作用量的挪动与鼓包幅度平方成正比，幅度三倍、挪动九倍；在此例里真实轨迹恰是极小，但哈密顿原理只承诺驻值，别把"最小作用量"当成字面真理。

图5-2 拉格朗日流水线与守恒量出口

⚠️ 常见坑：动能写漏广义坐标的交叉项。多自由度系统里动能对广义速度是二次型，摆与摆之间耦合一处写漏，方程立刻少一条耦合项——这是拉格朗日方法唯一比受力分析更容易出错的地方。

要点复盘：

• 两个标量进，一组方程出：动能减势能成拉格朗日量，偏导模板逐自由度产出运动方程；
• 标量没有方向：约束反力与投影角度在流水线里全程不出现，复杂几何不再消耗错误额度；
• 小角公式有适用边界：六十度摆角周期已长百分之七，全角方程才是精确版；
• 驻值是一阶不动：作用量在真实轨迹附近的变化是高阶小量，数值演示里万分之一量级的差别就是证据。

模板会出方程，也会送礼物：某坐标若在拉格朗日量里缺席，对应的广义动量自动守恒。下一节把这份规律升级成诺特定理——对称性与守恒律的一一对应。