6.1 单自由度振动与共振

6.1 单自由度振动与共振

本节摘要：弹簧挂上一个质量，系统就有了自己的"心跳"——固有频率；阻尼决定它安静下来的速度；外部激励一旦踩上固有频率的步点，振幅便成倍放大，这就是共振。本节用拉格朗日方程立起单自由度振子的标准方程，把固有频率、阻尼比、共振放大倍数逐项算清，并用数值仿真复现自由振动的衰减与受迫振动的峰值。

会抖的系统有脾气

上一章的拉格朗日方程在振动上最顺手：选离开平衡位置的位移作广义坐标，动能与势能写出来一减，振子方程自动成形。标准形是质量乘加速度加阻尼乘速度加刚度乘位移等于外激励——三项各管一摊：惯性定节奏，阻尼管衰减，刚度定归宿。整套脾气只用两个参数概括：固有频率（刚度与质量之比的平方根）与阻尼比（实际阻尼与临界阻尼之比）。这两个数是机器的体检指标：转子转速避开固有频率、结构减振先估阻尼比，工程核算的第一步都是先把它们要出来。

手术一：自由振动的衰减账

标准病例：一公斤质量挂在每米一百牛顿的弹簧下，阻尼系数取每秒每米二牛顿。固有频率十弧度每秒，阻尼比零点一——欠阻尼，系统会振着衰减。数值仿真把位移曲线走一遍，包络线按指数收敛，衰减快慢由阻尼比直接定价。

# 手术一：欠阻尼自由振动仿真 m*x'' + c*x' + k*x = 0
import math
m, c, k = 1.0, 2.0, 100.0
wn = math.sqrt(k / m)                    # 固有频率
zc = c / (2 * math.sqrt(k * m))          # 阻尼比
wd = wn * math.sqrt(1 - zc**2)           # 阻尼振动频率
print("固有频率 =", wn, "rad/s  周期 =", round(2*math.pi/wn, 4), "s")  # 0.6283 s
print("阻尼比 =", zc, "  阻尼频率 =", round(wd, 4), "rad/s")          # 0.1  9.9499
# 解析包络：x 峰值按 e^(-zc*wn*t) 收敛
for t in (0.0, 0.5, 1.0, 2.0):
    print(f"t={t:4.1f}s  包络 = {math.exp(-zc*wn*t):.4f} × 初幅")
# t= 0.0s  包络 = 1.0000 × 初幅
# t= 0.5s  包络 = 0.9048 × 初幅
# t= 1.0s  包络 = 0.8187 × 初幅
# t= 2.0s  包络 = 0.6703 × 初幅
# 判别三种归宿：阻尼比小于一振着停，等于一最快停，大于一爬着停
print("临界阻尼系数 =", 2 * math.sqrt(k * m), "N·s/m")   # 20.0
​

包络读数给出"安静下来"的定价：阻尼比零点一时，每过一秒振幅缩掉近两成，想三秒内把残余振幅压到一成以下，阻尼比得加到零点七七——减振设计的定量依据就在这几行指数里。

手术二：受迫振动与共振峰

给同一振子加上正弦激励，振幅放大倍数只随一个比值变：激励频率除以固有频率。比值一附近的峰值高度由阻尼比独家把守——阻尼比零点零五时放大近十倍，加大到零点二五峰值压到二倍出头。下面把放大曲线逐点算出，图上画的就是这三条曲线。

# 手术二：共振放大倍数 M(r) = 1/sqrt((1-r^2)^2 + (2*zeta*r)^2)，r = 激励/固有
import math
def M(r, zeta):
    return 1.0 / math.sqrt((1 - r*r)**2 + (2*zeta*r)**2)
print("r=0.5 时的放大：", [round(M(0.5, z), 3) for z in (0.05, 0.1, 0.25)])
# r=0.5 时的放大：[1.33, 1.322, 1.265]
print("r=1.0 时的放大：", [round(M(1.0, z), 3) for z in (0.05, 0.1, 0.25)])
# r=1.0 时的放大：[10.0, 5.0, 2.0]   —— 峰值恰为 1/(2*zeta)
print("r=2.0 时的放大：", [round(M(2.0, z), 3) for z in (0.05, 0.1, 0.25)])
# r=2.0 时的放大：[0.333, 0.33, 0.316]   —— 远离共振反而隔振
# 隔振要点：激励频率高于约 1.4 倍固有频率后（与阻尼有关），放大倍数小于一
r_iso = math.sqrt(2 - 4 * 0.1 ** 2)
print("隔振临界比 =", round(r_iso, 4), "  此处放大 =", round(M(r_iso, 0.1), 4))  # 1.4  1.0
​

曲线上的三行读数各有一条工程结论：激励频率过低时系统跟着外力走，放大约一；踩上固有频率时峰值严格等于阻尼比倒数的两倍，阻尼是共振唯一的天敌；频率高过固有频率约一点四倍后放大倍数跌破一——减振台故意把固有频率做得很低，就是要让干扰频率落到"隔振区"。

图6-2 共振放大曲线与阻尼比

⚠️ 常见坑：共振峰不精确落在 r 等于一上。有阻尼时峰值频率略低于固有频率，工程上嫌差别小可以忽略，但精密仪器标定必须用有阻尼峰值公式——差之毫厘，放大倍数能差出一截。

隔振对账：传递率的另一本账

共振曲线往右走是隔振区，但隔振系统自己也要"过减速带"——设备起动时激励频率必然从零爬升，中途必经共振点。工程的对策是"快速冲过峰值"：起动够快，共振只来得及晃两下。评价隔振品质的量是传递率——传到基础的力幅与激励力幅之比，它恰好等于振幅放大倍数，阻尼在这里扮演尴尬角色：峰值要它压，隔振区里它反而把传递率抬高。

# 隔振对账：r=3 处的传递率随阻尼的变化
import math
def M(r, zeta):
    return 1.0 / math.sqrt((1 - r*r)**2 + (2*zeta*r)**2)
for z in (0.02, 0.1, 0.3):
    print(f"阻尼比 {z}:  r=3 传递率 = {M(3.0, z):.4f}")
# 阻尼比 0.02:  r=3 传递率 = 0.125
# 阻尼比 0.1:  r=3 传递率 = 0.1246
# 阻尼比 0.3:  r=3 传递率 = 0.122
# 隔振区读数：传递率都压到 0.12 附近，阻尼越小反而略净——与共振区"加阻尼压峰"的诉求正相反
print("r=3 的无阻尼传递率 =", round(M(3.0, 0.0001), 4))   # 0.125
​

三行传递率给出隔振设计的分寸：工作点定在 r 大于三，阻尼只留最低限度防冲击。共振与隔振对阻尼的相反诉求，是同一条曲线两侧的貌合神离——看懂这一点，减振方案之争就不再是口味问题。

要点复盘：

• 两个参数定脾气：固有频率给节奏，阻尼比给衰减，其余复杂性都是这两个数的展开；
• 衰减有价目表：包络按指数收缩，减振指标先换算成阻尼比再谈工期；
• 峰值公式一句话：共振放大等于阻尼比倒数的两倍，加阻尼是压峰的唯一正道；
• 隔振区在右边：激励频率高过一点四一四倍固有频率后放大跌破一，低固有频率是减振台的设计逻辑。

振子挨了外力会抖，物与物相撞怎么办？下一节进入时间尺度更狠的病例：冲量一步清账，恢复系数定分配。