6.2 碰撞恢复系数与冲量

6.2 碰撞恢复系数与冲量

本节摘要：碰撞的力大、时短、变化猛，微分方程细讲不划算，动量账本一步清账。但动量守恒只有一条方程，撞后两个速度是两个未知数——缺的那条方程由恢复系数补上：它衡量形变恢复的程度，从橡胶球的一点零附近到泥球的零，把"弹得多狠"变成一个数。本节给出碰撞的完整记账流程与动能损失账本。

撞的一瞬间谁说了算

第四章的动量定理在碰撞里当主角：撞击力是时间的尖峰函数，没人关心它的具体形状，冲量（力对时间的积分）才是唯一的账目。两物相撞，内力成对出现、冲量互相抵消，系统动量守恒——一条方程到手。可撞后两个速度是两个未知数，还差一条。补账的选项有两种：彻底弹性碰撞补动能守恒，彻底塑性碰撞补"撞后同速"，真实材料都卡在两者之间。牛顿用恢复系数统一了这堆情形：分离相对速度比上接近相对速度，取个负号，材料的"弹性人品"就浓缩成一个零到一之间的数。

这个数不测不知道：钢球对钢球零点九上下，木球零点五附近，泥球干脆是零——同是碰撞，动能的去向截然不同，损失的份额要么进了形变热，要么进了永久变形。碰撞解剖的关键动作因此是两步：动量账算总账，恢复系数算分配。

手术一：一维对心碰撞的分配账

标准病例：两公斤的钢球以每秒五米追上一公斤的静止木球，恢复系数分别取完全弹性的一点零、木球实测的零点五、完全塑性的零。动量守恒加恢复系数两条方程联立，撞后速度与动能损失一并清点。

# 手术一：一维对心碰撞。m1*v1+m2*v2 守恒，v2'-v1' = e*(v1-v2)
def collide(m1, v1, m2, v2, e):
    v1p = (m1*v1 + m2*v2 - m2*e*(v1 - v2)) / (m1 + m2)
    v2p = (m1*v1 + m2*v2 + m1*e*(v1 - v2)) / (m1 + m2)
    return v1p, v2p

m1, v1, m2, v2 = 2.0, 5.0, 1.0, 0.0
KE0 = 0.5*m1*v1**2 + 0.5*m2*v2**2
for e, tag in ((1.0, "完全弹性"), (0.5, "木质球"), (0.0, "完全塑性")):
    v1p, v2p = collide(m1, v1, m2, v2, e)
    loss = KE0 - (0.5*m1*v1p**2 + 0.5*m2*v2p**2)
    print(f"{tag} e={e:.1f}: 撞后 v1'={v1p:.4f}  v2'={v2p:.4f}  动能损失={loss:.4f} J")
# 完全弹性 e=1.0: 撞后 v1'=1.6667  v2'=6.6667  动能损失=0.0000 J
# 木质球   e=0.5: 撞后 v1'=2.5000  v2'=5.0000  动能损失=6.2500 J
# 完全塑性 e=0.0: 撞后 v1'=3.3333  v2'=3.3333  动能损失=8.3333 J
print("初始动能 =", KE0, "J")                     # 25.0
print("塑性损失占比 =", 8.3333 / KE0)             # 0.333332
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三档恢复系数把账算得明明白白：完全弹性一分动能不丢，轻球反而以更快的速度弹开；木质球丢掉四分之一的动能；塑性碰撞直接黏成一体，整整三分之一的动能化为乌有。汽车碰撞安全设计的全部思路就是奔着最后一行去的——用塑性变形这一笔"贵账"把乘员的速度变化摊薄。

手术二：落球弹跳与恢复系数实测

恢复系数最便当的测法是落球：从高度 h 落下，回弹到 h2，能量账给出 e 等于回弹高度与下落高度之比的平方根。逐次弹跳的高度构成等比数列，公比恰是 e 的平方——测一次弹跳，后面所有次弹跳的高度全部预告完毕。

# 手术二：落球弹跳。e = sqrt(h2/h1)，逐次高度按 e^2 等比缩水
import math
h0 = 2.0
e_basket, e_clay = 0.75, 0.0          # 篮球约 0.75，湿泥球 0
print("篮球回弹高度 =", e_basket**2 * h0, "m")            # 1.125
print("湿泥球回弹高度 =", e_clay**2 * h0, "m")            # 0.0
heights, h = [], h0
t_total = 0.0
g = 9.8
for n in range(6):
    t_total += math.sqrt(2*h/g) * (2 if n > 0 else 1)   # 各段飞行时间
    heights.append(round(h, 4))
    h *= e_basket**2
print("逐次到达高度 =", heights)
# 逐次到达高度 = [2.0, 1.125, 0.6328, 0.356, 0.2002, 0.1126]
print("前五次弹跳总用时 =", round(t_total, 4), "s")       # 3.5625
# 弹跳很快"停止"：高度指数缩水，但严格永不归零——有限时间弹无限多次
print("第十次高度 =", round(2.0 * e_basket**20, 6), "m")  # 0.006342
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时间账比高度账更有味道：弹跳次数无限多，总时间却是有限和——几何级数收住。皮球"停了"其实还在做着肉眼难辨的微颤，直到空气与材料的内耗把最后一丝动能也归入热账。

💡 记账检查：碰撞问题先写动量守恒（总账），再按材料选第二条方程（动能守恒、恢复系数或同速），两条联立才有唯一解。只写动量就动手算，是碰撞题最常见的半途而废。

平均冲击力：把冲量换算回力

恢复系数管速度分配，工程验收常常还要力的数字——冲量账可以折算平均冲击力：动量清零的总量除以接触时间。接触时间难测，钢球碰钢板约零点零五毫秒量级，缓冲材料能拉长百倍，力的差距就是这百倍。下面把手术二的落球换算成力的账，顺带解释"为什么砸在水泥上比砸在垫子上伤"。

# 平均冲击力：动量清零 ÷ 接触时间
import math
m, h, g = 1.0, 2.0, 9.8
v = math.sqrt(2 * g * h)              # 触地速度
p = m * v
for dt, tag in ((0.0005, "直接砸钢面"), (0.05, "落在缓冲垫")):
    F = p / dt
    print(f"{tag}: 接触 {dt*1000:.1f} ms  平均冲击力 = {F:,.0f} N  约合 {F/(m*g):.0f} 倍自重")
# 直接砸钢面: 接触 0.5 ms  平均冲击力 = 12,522 N  约合 1278 倍自重
# 落在缓冲垫: 接触 50.0 ms  平均冲击力 = 125 N  约合 13 倍自重
print("触地速度 =", round(v, 3), "m/s  冲量 =", round(p, 3), "N·s")   # 6.261 6.261
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同样的冲量六点三牛·秒，接触时间拉长一百倍，冲击力就从千倍自重掉到十来倍——安全帽、气垫、保险杠的全部使命就是把这一栏的时间做长。冲量、恢复系数、平均冲击力三本子账各管一段，合起来才是碰撞的完整病历。

要点复盘：

• 冲量是碰撞的唯一货币：撞击力的形状免问，动量守恒清总账；
• 恢复系数补第二条方程：分离速度比接近速度，材料弹性浓缩成零到一之间的一个数；
• 动能损失有份额表：弹性零损失、木质球丢四分之一、塑性丢三分之一，安全设计专吃塑性账；
• 落球是现成的测量仪：回弹高度比的平方根就是恢复系数，逐次弹跳按平方公比预告。

碰撞是"猛"的极端，摩擦是"缠"的极端。下一节进入库仑模型的世界：切向力有上限、未动时取值刚够用，自锁的边界由此画出。