2.1 成像原理与光线追迹

2.1 成像原理与光线追迹

本节摘要：理想成像要求物面上一点发出的所有光线在像面上交于一点，并且邻点的交点排列保持相似。近轴区用焦点、主面、节点描述一个等效系统，高斯公式给出物距像距，横向放大率给出大小。实际系统必须指定孔径光阑与视场光阑，出瞳是眼睛或探测器「看到」的光束窗口。光线追迹是把这些定义变成可计算的步骤。

核心问题

阅读完本节，你应当能够：

1. 在一张光路图上标出物方焦点、像方焦点、主面，并用高斯公式算像距
2. 解释为何厚透镜必须用主面而不是玻璃中心当「透镜位置」
3. 指出孔径光阑、入瞳、出瞳三者的物像关系
4. 用 (2\times 2) 矩阵把间隔与折射面串起来，读出系统焦距
5. 说明边缘光线与主光线分别携带孔径信息和视场信息

一、理想成像要的不是「有个亮斑」

手电筒在墙上有光，那不叫成像。成像要求映射：物点对应像点，邻近物点的像点按固定倍率排列，最好还不随颜色跑。几何光学里，这一点被说成「同心光束经系统后仍交于一点」。近轴区，球面系统对轴上物点近似满足；离轴、大孔径后交点散开，那是下一节的像差。

空气中薄透镜：

[
\frac{1}{s'}+\frac{1}{s}=\frac{1}{f},\quad m=-\frac{s'}{s}
]

（此处用中学常用的「物距像距取正」约定：实物、实像为正，倒像放大率为负。）(f>0) 是会聚透镜。物在两倍焦距外，像在另一侧缩小倒立；物进到一倍与两倍焦距之间，像放大倒立；物进到焦点以内，成虚像，正立放大，这是放大镜。这些结论全部来自同一个代数，换场景不必另背口诀。

厚透镜或透镜组不能再假装光焦度集中在玻璃中心。物方主面、像方主面是「等效薄透镜该放的地方」：从主面量起的焦距，才让高斯公式继续成立。节点是角放大率为 (+1) 的一对共轭点，空气中节点与主点重合。测镜头「等效焦距 50 mm」，指的是主面到焦点的距离，不是第一片玻璃到焦平面的壳长。后焦距（法兰距）和焦距是两个数，换镜头卡口时搞混会撞镜子。

图：厚系统的主面与焦点

图注：厚透镜的焦距从主面量起，不是从玻璃中心量起。高斯公式的物距像距一律从主面起算。

二、光阑：谁有资格参加成像

透镜口径再大，中间一个孔也可以把光束掐细。那个实际限制轴上物点光束立体角的孔，叫孔径光阑。它被前面光学系统所成的像叫入瞳，被后面系统所成的像叫出瞳。眼睛看目镜，瞳孔必须与出瞳重合，否则视场立刻黑一圈——这叫「对瞳」。照相镜头把光圈叶片做成孔径光阑，F 数是焦距除以入瞳直径：(F=f/D_{\mathrm{ep}})。F 越小，相对孔径越大，进光越多，焦深越短，球差越难控。

视场光阑限制能被看到的物方范围，常常就是探测器边框或目镜视场光阑。渐晕是离轴光束被多个镜框共同遮挡，像面边缘变暗，不一定是镀膜问题。

两条特征光线把光阑信息带进追迹：

• 边缘光线（轴上物点发出、擦过孔径光阑边缘）：决定孔径、球差、F 数
• 主光线（视场边缘物点发出、穿过孔径光阑中心）：决定视场、畸变、像面照度余弦定律

不会画这两条线，像差讨论会变成形容词比赛。

三、矩阵追迹：把面串成系统

近轴光线写成列向量 ((n u,\ h)^\mathrm{T}) 或 ((h,u)^\mathrm{T})，约定要与教材一致。一个轴向间隔 (d) 的传输矩阵把高度按角度推走；一个折射面用光焦度改变方向余弦。系统矩阵 (M=M_k\cdots M_1)，焦距、主面位置都可以从矩阵元读出。手工算两三片还行，再多就该交给光学设计程序做有限光线追迹。近轴矩阵的价值是：装调前先知道焦面大概在哪，避免在像差优化里连高斯像面都放错。

# 概念：薄透镜后接空气间隔，2x2 矩阵从右往左乘
# 光线向量取 [h, u]
phi = 1/50.0      # mm^-1，f=50 mm
d   = 20.0        # mm，透镜到观察面
# 透镜矩阵 L = [[1, 0], [-phi, 1]]
# 平移矩阵 T = [[1, d], [0, 1]]
# 系统 S = T * L
# 平行入射 h=10 mm, u=0 → 像方高度 h' = 10*(1-d*phi)
​

拉格朗日不变量 (H=n u \eta - n \bar{u} h)（(\eta) 为物高，(\bar{u}) 为主光线角）在无损耗系统里守恒。它把孔径和视场乘在一起：你想要大视场又大孔径，不变量就大，玻璃口径、像差、公差一起涨。这是光学设计里最接近「没有免费午餐」的一个量。

⚠️ 常见坑：用后截距当焦距去算放大率。后截距是最后一面到高斯像面的距离，变焦镜头里它可以几乎不变而焦距大变。放大率必须用物距像距或焦距与物距。
💡 关键直觉：入瞳是物方「光束窗口」的像。所有物方光线追迹都可以当作从入瞳看进去；讨论渐晕、杂光、遮拦，先把入瞳位置画出来。

物面不在设计共轭时，系统仍会在某个面形成「最佳焦面」，但倍率、像差、场曲一起变。显微镜物镜标的是有限筒长或无限筒长，不能混用：无限筒长物镜必须配指定焦距的管镜，否则色差校正环被拆开。照相镜头按无穷远或按特定放大率优化，拿去做微距会露出场曲和倍增色差。

问题：虚像能追迹吗？

能。虚像意味着出射光线反向延长相交。矩阵照乘，像距为负或按约定落在物侧。眼睛或后续镜头把这束会聚或发散光再接住，最终仍可在视网膜或传感器上成实像。说「虚像不能被屏幕接收」是对的，说「虚像不存在」是错的。

问题：主光线一定过光轴吗？

过孔径光阑中心，不一定过系统对称轴上的某固定点以外的点。有光阑偏移、离轴视场时，主光线在不同面上的高度按追迹走。轴外点的主光线是定义视场方向的那一根，不是「最亮的那一根」。

四、把这一节接到仪器上

主面位置测错，等效焦距就测错，放大率跟着错。厚胶合组、变焦组、摄远组的主面可以落到玻璃外面，甚至落到系统后边，这不是错误而是定义。用法兰距去当焦距，后组对焦结构会按错导程。车间测焦应用平行光管加测微目镜或电子星点，并写明波长。

入瞳若在镜头内部很深，广角边缘光束会斜着打进传感器，微透镜阵列和彩色滤光片开始各管各的，紫边和边缘失光不全是光学像差。无反相机争短后焦，也是在跟这一条搏。光学设计必须把传感器当光学面，不能在像面画一个矩形就收工。

无限共轭与有限共轭不要混用物镜。显微镜无限筒长配错管镜焦距，倍率按比例错，色差校正环被拆开，边缘开花。照相镜头当微距用，场曲和倍增色差按设计点之外出现，不是「这颗镜头坏了」。任务书四行里的共轭，是本章所有公式的边界条件。

问题：这一节最容易测错的是什么

法兰距当焦距。变焦组主面可以跑到系统外面，后截距几乎不变而焦距大变。入瞳位置不画，遮光罩和渐晕分析全是猜。无限筒长物镜拧到有限接口，色差校正被拆开，边缘开花却去怪物镜镀膜。拉格朗日不变量被忽视时，有人会同时要求大视场、大孔径、袖珍体积，优化软件给出对公差极度敏感的解。虚像「不存在」的说法会让放大镜和目镜设计停摆——虚像要被下一台光学系统接住。特征光线只追一条轴上光线，离轴主光线携带的畸变和照度信息全部丢失。测焦不写波长，色差会被当成焦距公差。

一小时对照练习

在厚透镜草图上标 H、H'、F、F'，用尺子量主面到焦点，不要量玻璃中心。画边缘光线和主光线各一条，读出 F 数和视场。把入瞳画成物方窗口，遮光罩按这个窗口设计而不是按第一片外径。无限筒长与有限筒长各写一句「拆开了什么校正」。虚像用反向延长线交点定义，并指出目镜如何把它接到视网膜上。拉格朗日不变量用孔径角乘半视场估一下，看看袖珍大光圈广角为什么体积爆。测焦注明波长，避免把色差写成焦距公差。

本章回顾

• 理想成像：点点对应且相似排列；近轴用高斯公式和放大率描述
• 主面：厚系统的等效薄透镜位置；焦距从主面起算
• 光阑：孔径光阑限制光束，视场光阑限制范围；入瞳出瞳是它们的像
• 特征光线：边缘光线带孔径，主光线带视场
• 矩阵：近轴面可以串乘；拉格朗日不变量锁住孔径与视场的乘积
• 共轭：换物距等于换一个设计点，像差与倍率一并改写

下一节把「交不在一点」展开成五种初级像差，并给出随孔径、视场如何增长的记忆表。

数字与边界再钉一次

主面可以在玻璃外，摄远组尤其如此，用法兰距当焦距会把对焦凸轮导程算反。出瞳给目镜时直径按人眼 2 到 7 毫米量，给单模光纤时按模式场几个微米量，差三个数量级。无限共轭物镜配错管镜，倍率按焦距比错，色差校正环被拆开不是镀膜问题。拉格朗日不变量大，口径、像差、公差一起大，袖珍大光圈广角没有免费解。虚像必须被下一系统接住，放大镜和目镜都在做这件事。测焦写波长，色差才不会混进焦距公差。边缘光线定孔径，主光线定视场，两条都要画。

收束对照

成像映射是点点对应。主面、光阑、两条特征光线，是把映射画到纸上的最小工具箱。共轭写错，后面像差全是在错误像面上讨论。法兰距不是焦距，入瞳不是第一片外径。虚像要被下一系统接住。测焦注明波长，色差才不会混进焦距公差。拉格朗日不变量提醒体积会来收税。