4.1 光的干涉理论

4.1 光的干涉理论

本节摘要：两束频率相同的光在空间一点的电场相加，强度出现随相位差变化的余弦项，这就是干涉。相位差主要来自光程差。条纹可见度被三件事卡住：振幅比不要太悬殊、光程差不要超过相干长度、偏振不要互相正交。杨氏双缝是分波阵面的原型，它同时演示空间相干：缝太宽或光源太大，条纹会淡掉。

你能学到什么

阅读完本节，你应当能够：

1. 从两复数振幅写出强度 (I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1 I_2},|\gamma|\cos\phi)
2. 用谱宽估计时间相干长度 (l_c\approx\lambda^2/\Delta\lambda)
3. 用光源角宽度估计空间相干，判断双缝间距是否过大
4. 指出正交线偏即使光程为零也没有条纹
5. 说明白光条纹为何只在零光程差附近出现

一、相加的是场，不是功率

功率计把 (|E|^2) 做时间平均。两束光

[
E_1=A_1\mathrm{e}^{-i\omega t},\quad
E_2=A_2\mathrm{e}^{-i\omega t+i\phi}
]

同频率时，交叉项活下来：(I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1 I_2}\cos\phi)。(\phi=2\pi\Delta/\lambda)，(\Delta) 是光程差。(\Delta) 变一个波长，条纹走一条。这是所有干涉仪的读数原理。

若两束频率不同，交叉项以差频振荡，慢探测器平均为零——日常两盏灯看不到条纹，不是「光不会干涉」，是差频太快、相干时间太短。激光差频可以低到射频，拍频能被光电二极管看见，那是外差测量，不是条纹消失。

复相干度 (\gamma) 把「不完全相干」写进交叉项：可见度 (V=2\sqrt{I_1 I_2}/(I_1+I_2)\cdot|\gamma|)。振幅相等且 (|\gamma|=1) 时 (V=1)，暗纹真暗。振幅比 10:1，即使完全相干，(V) 也只有约 0.2，条纹浅得像没对准。

图：可见度三条件

图注：看见条纹要过振幅、相干、偏振三道门。关掉任意一道，条纹都可以消失。排错按这个顺序。

二、时间相干与空间相干

时间相干来自光谱宽度。有限波列长度大约 (l_c\approx\lambda^2/\Delta\lambda)（数量级，线型不同有系数）。钠灯黄线 (\Delta\lambda) 零点几纳米，相干长度毫米到厘米；HeNe 激光 (\Delta\lambda) 极窄，相干长度可以到米甚至更长（还取决于腔的纵模）。白光 (\Delta\lambda) 占可见区一大部分，(l_c) 只有微米量级，所以白光干涉只在两臂几乎等光程时出现彩色条纹。光学相干断层扫描（OCT）故意用宽带，让只有匹配深度的一层组织产生信号，纵向分辨率就是相干长度。

空间相干来自光源的角大小。扩展光源可以看成许多不相干点源，每个点源自己一套条纹，彼此错位后平均掉。范西特-泽尼克定理把光源亮度分布的傅里叶变换与互强度联系起来：光源越大，横向相干宽度越窄。杨氏双缝：缝间距大于横向相干宽度，条纹没了。太阳在地面的横向相干宽度大约几十微米量级，所以阳光下双缝必须很密，或先用针孔滤波。

# 概念：相干长度数量级
lambda_nm = 550
dlambda_nm = 5          # 滤光片带宽
lc_um = lambda_nm**2 / dlambda_nm / 1000
# 550^2 / 5 = 60500 nm ≈ 60 μm
​

杨氏实验：两缝间距 (d)，屏距 (D)，条纹间距 (\Delta x=\lambda D/d)。这是分波阵面：同一波前被两开口取样。缝宽带来单缝衍射包络，条纹被包在包络里——干涉和衍射从来不是两种光，只是孔径离散还是连续。

三、偏振因子与多光束预告

两束正交线偏，交叉项的时间平均为零（相位锁定成圆偏是另一件事：那是同一束的两个分量，不是两束独立强度相加）。干涉仪里常用偏振器把两臂拧到平行，或故意用正交再加检偏做某些外差方案。初学先保证平行。第 3 章的半波片在这里是标准工具。

多光束干涉（法布里-珀罗）把同一公式叠很多项，透射峰变尖，精细度随反射率升。下一节薄膜是两束为主，再多层就靠近多光束。不要等「衍射章」才承认多缝：光栅就是多缝干涉加单缝包络。

⚠️ 常见坑：用激光笔做双缝却把缝贴在灯口上。激光空间相干好，但灯口往往已是一个扩展发光面再加塑料透镜，模式很脏。扩束、空间滤波（针孔）、再照双缝，条纹立刻整齐。脏模式不是「激光不相干」，是空间结构太乱。
💡 关键直觉：零光程差是白光干涉的锚。找条纹先把两臂几何长度凑齐，再靠补偿板补玻璃厚度。找不到零级，后面所有「扫描测量」都没有原点。

相位还可以被介质折射率涨落改写。空气扰动让条纹扭，这不是噪声课，这是光程 (nL) 的现场演示。隔离罩、真空、共光路设计，都是在保护 (\phi)。共光路（点衍射、萨尼亚克）让两束走几乎同一空间，外界扰动进公共项，对差分不敏感——设计干涉仪时，这比提高激光功率更重要。

问题：不相干光叠加为什么是强度相加？

因为交叉项的相位在积分时间内均匀乱跑，平均值为零。数学上 (\langle\cos\phi(t)\rangle=0)。相干不是神秘气质，是 (\phi(t)) 在你的积分时间里够稳。

问题：条纹定域在哪里？

扩展光源的双光束干涉，条纹只在满足「同源点对的光程差相同」的区域清晰，叫定域面。薄膜等厚条纹定域在膜面附近，等倾条纹定域在无穷远（焦平面）。点源（激光）可以到处看到非定域条纹，这是激光实验「很好做」也「很容易误判定域」的原因。

四、把这一节接到仪器上

可见度公式里三个因子要分开测。先把两臂功率调到接近，V 仍低就转半波片；还低，检查是否远离零光程或光源是否扩展。把三件事缠成「相干性不好」一句话，会买错光源。HeNe 空间相干和时间相干都好，但若扩束镜有脏点，花样仍可以很脏——那是振幅噪声，不是 (\gamma)。

杨氏双缝的条纹间距公式是尺子：测 (d)、(D)、(\Delta x) 反推波长，是少数能在中学桌上碰到纳米量级的实验。缝宽带来的衍射包络必须画上，否则学生会以为条纹等幅铺到无穷。包络零点位置给出缝宽，条纹间距给出缝距，一张照片两套信息。

空间滤波：透镜焦面放针孔，切掉高空间频率的脏模式，出射接近单模。激光干涉仪外光路的「条纹突然变漂亮」，常常只是加了这个针孔，不是换了激光器。针孔对准是手艺，焦面找错会掉大量光。

问题：这一节最容易测错的是什么

三道门缠成一句「相干性不好」。功率比 10:1 时可见度本来就只有约 0.2，先看功率计。正交偏振交叉项为零，半波片比换激光器便宜。白光找不到零级却怪光源太差，其实补偿板没补玻璃厚度。扩展光源的条纹有定域面，激光点源非定域，两种几何混用会找错观察面。空间相干不够却把双缝贴在扩展灯口上。脏模式当不相干，加针孔空间滤波后条纹突然漂亮。差频太快被慢探测器平均掉，两盏灯看不见条纹不是光不会干涉。

一小时对照练习

把可见度三道门写成检查单并按顺序执行：功率比、偏振、零光程、谱宽与光源大小。用 λ²/Δλ 估相干长度，白光只有微米级，窄带滤光后能到几十微米，HeNe 可以到很长，选臂长要对着这根尺。杨氏双缝照片同时读包络零点得缝宽、条纹间距得缝距。空间滤波针孔放在扩束镜焦面，脏模式会变成干净条纹。扩展光源找定域面，激光点源不要用同一套观察习惯。差频太快被平均掉，两盏灯无条纹不是反例。

本章回顾

• 叠加：场相加，强度多一个余弦交叉项
• 相位：(\phi=2\pi\Delta/\lambda)，(\Delta) 是光程差
• 可见度：振幅比、(|\gamma|)、偏振投影，三者相乘
• 时间相干：谱宽决定相干长度；白光只认零级附近
• 空间相干：光源角大小决定缝能分多开
• 定域：扩展光源的条纹住在特定面上

下一节把分振幅落到薄膜：增透、高反、肥皂泡，都是同一条余弦在厚度方向上的颜色版。

数字与边界再钉一次

交叉项 2√(I1 I2)|γ|cosφ，三因子相乘决定看得见看不见。相干长度约 λ²/Δλ，白光微米级，窄带几十微米，稳频激光可以很长。空间相干随光源角宽度变窄，阳光下双缝必须很密或先针孔。φ=2πΔ/λ，Δ 是光程差不是路程。定域面：等厚在膜附近，等倾在无穷远，激光点源非定域。排错顺序：功率比、偏振、零光程、谱宽与光源大小。空间滤波切脏模式，不是换了一台更相干的激光器。两盏灯无条纹是差频被平均掉。振幅比 10 比 1 时可见度约 0.2，先看功率计再怪相干。补偿板是为白光零级存在的玻璃，不是装饰。

收束对照

场相加才有交叉项。三道门串联，关掉一道条纹就可以消失。相干长度和横向相干宽度是两把尺，分别管臂长和缝距。零光程是白光的锚。定域面决定眼睛该看哪儿。振幅比悬殊时可见度本来就低，先看功率计。空间滤波切的是脏模式。补偿板为白光零级而存在。

再补一刀

复相干度把不完全相干写进交叉项。范西特-泽尼克把光源亮度分布的傅里叶和横向相干连起来，所以扩展光源要先滤波。多光束是法布里-珀罗和光栅的预告，不必等衍射章才承认多缝。相位被空气折射率涨落改写，隔离罩和共光路是在保护这个相位。拍频能被二极管看见时，差频已经低到射频，那是外差不是条纹消失。找条纹先凑几何等光程。

过线补句

可见度是三个因子的乘积，排错按乘积拆开测，不要合成一个形容词。白光包络的中心才是绝对原点，单色条纹只给相对变化。光源张角一大，横向相干宽度变窄，双缝间距必须跟着收。激光模式脏时先空间滤波，再讨论要不要换更窄线宽的管子。相位在积分时间里够稳，才叫相干，不是气质。

条纹间距是尺子，相位差是被测量，二者不要在报告里互换。

交叉项活下来才有条纹。频率不同则差频太快被平均掉，日常两盏灯看不见不是光不会干涉。找条纹先凑等光程，再靠补偿板补玻璃。
可见度三因子要分开测，合成一个形容词会买错光源。
定域面决定眼睛该看膜面还是无穷远。激光点源不要用扩展光源的观察习惯。