5.1 衍射理论基础

5.1 衍射理论基础

本节摘要：惠更斯把波前上每一点当作次波源，菲涅耳给它们加上相位再积分，这就是标量衍射。菲涅耳数 (N_F=a^2/\lambda z) 大约大于 1 时，二次相位不能丢，花样随距离演变；远小于 1 时进入夫琅禾费区，横向花样是孔径函数的傅里叶变换，只随距离放大。圆孔的焦斑是艾里斑，第一暗环在 (1.22\lambda/D) 的角度上，瑞利判据把两个艾里斑刚可分辨当作经典分辨率。

本节地图

阅读完本节，你应当能够：

1. 计算给定孔径、波长、距离的菲涅耳数，判断用哪套公式
2. 写出单缝夫琅禾费强度 (\mathrm{sinc}^2) 的暗纹位置
3. 给出圆孔艾里斑第一暗环的角半径，并换算到 F 数下的线半径
4. 用瑞利判据估计望远镜或显微镜的衍射极限
5. 解释透镜焦面为何是夫琅禾费面

一、次波不是比喻，是积分

波前上面积元 (\mathrm{d}S) 发出球面次波，观察点把所有次波按光程相位加起来。基尔霍夫积分给了倾斜因子和边界条件的一个自洽版本；光学工程里常用标量菲涅耳-基尔霍夫或角谱传播。矢量效应在金属缝宽接近波长、高 NA 聚焦时才必须请出来。先把标量用熟：多数镜头、光栅、光阑够用。

菲涅耳近似保留到二次相位 (k(x^2+y^2)/2z)，相当于傍轴球面波。夫琅禾费再把二次项丢掉（或用透镜抵消），积分变成傅里叶变换：

[
U(f_x,f_y)\propto \iint t(x,y),\mathrm{e}^{-i 2\pi(f_x x+f_y y)},\mathrm{d}x\mathrm{d}y
]

(t) 是孔径透射，(f_x=x'/\lambda z) 是空间频率。孔径越窄，傅里叶越宽——缝越细，衍射斑越大。这和「小孔成像更糊」的日常感觉一致，也和「大望远镜更锐」一致。

菲涅耳数 (N_F=a^2/(\lambda z))。(a) 取孔径半径或半宽。(N_F\gg 1) 近场，阴影边缘有条纹，光束内部有波纹；(N_F\sim 1) 过渡；(N_F\ll 1) 远场。激光扩束后看几十米外的光斑，对厘米级口径、微米级波长，(N_F) 仍可能不小，别随口说「已经夫琅禾费了」。

图：近场到远场与艾里斑

图注：近场花样随距离变，远场是孔径傅里叶的放大。圆孔第一暗环角半径一点二二倍波长除以口径。

二、单缝、圆孔、透镜的角色

单缝宽 (b)，夫琅禾费暗纹 (\sin\theta=m\lambda/b)（(m=\pm1,\pm2,\ldots)）。中央亮纹宽度是两侧一级暗纹之间，约为两侧单缝「几何」的两倍直觉。圆孔直径 (D)，第一暗环 (1.22\lambda/D)（角半径）。能量约 84% 在中央亮斑。望远镜角分辨率常写 (\theta=1.22\lambda/D)，显微镜物方分辨率 (0.61\lambda/\mathrm{NA})，同一圆孔衍射的两种投影：一个在无穷远物，一个在高 NA 近物。

透镜把入射平面波变成会聚球面波，等价于乘一个二次相位因子。于是焦平面上的场就是入射孔径场的傅里叶变换——夫琅禾费花样被搬到焦距处，不必跑到无穷远。这是傅里叶光学的入口：4f 系统在中间焦面放掩模，就是在乘空间滤波器。阿贝成像：物的频谱被物镜光瞳切掉高频，细节回不来。油浸提高 NA，等于光瞳在频谱面上张得更大。

# 概念：F 数与艾里半径
lambda = 550e-9
F = 8.0
r_air = 1.22 * lambda * F
# ≈ 5.4 μm，和许多 CMOS 像元同量级
​

三、分辨率：衍射先卡还是像差先卡

无像差系统被艾里斑卡住，叫衍射受限。有像差时点列图比艾里大，叫像差受限。缩小光圈：像差下降、艾里变大，存在最佳 F 数。显微镜高 NA 时，盖玻片误差引入的球差可以轻易大于艾里，于是「理论分辨率」写在说明书上，样品上达不到。超分辨显微（STED、PALM 等）并不推翻衍射积分，它们改的是荧光分子的有效发光区或定位统计，等效孔径以外的信息来自先验和开关。课堂先把艾里当铁箍，再谈哪些先验能绕。

半波带片把菲涅耳半波带交替挡住或改相，让轴上点同相相加，能聚焦，焦距随波长变，色差与透镜相反。这是第 5.3 节衍射透镜的祖先。

⚠️ 常见坑：用几何阴影估计激光打孔的焦斑。焦点附近 (N_F\sim 1)，几何焦点只是近轴故事，真实是艾里或更差。按 (1.22\lambda F) 估最小斑，再叠加实际 M 平方因子（激光束质量）。
💡 关键直觉：孔径在空域乘一个窗，频谱就卷积一个 sinc 或 jinc。想要锐的空域细节，必须在光瞳里留下足够宽的频谱。挡掉光瞳边缘等于主动降低分辨率。

巴比涅原理：互补屏（孔与不透明物体对调）的衍射场在无直射光区域差一个符号，远场花样除正向亮点外相同。小颗粒散射与小孔衍射因此可以互相借用直觉。

问题：菲涅耳衍射积分能用 FFT 算吗？

能。角谱法对短距离稳定，单步菲涅耳 FFT 对中等距离方便，长距离要小心采样和二次相位的 chirp。数值传播是光学设计与计算成像的日常，手算只负责数量级。

问题：为什么矩形孔是十字星芒、圆孔是圆环？

傅里叶变换把矩形变成 (\mathrm{sinc}(f_x)\mathrm{sinc}(f_y))，能量沿轴；圆孔旋转对称变成贝塞尔。相机光阑叶片接近多边形，亮星出现星芒，是叶片直边的傅里叶。想要干净的散景，用圆口。

四、把这一节接到仪器上

激光加工焦斑预算：(\omega_0 \propto M^2 \lambda F)。材料阈值决定要多大功率密度，于是反推 F 数和能否用现有 (M^2)。多模光纤激光打标焦斑大，不是镜头差，是光束质量。换更短焦距会增大入射角和像差，不一定赢。先测 (M^2) 再买聚焦头。

显微镜油镜的理论分辨率按 NA=1.4、550 纳米大约 0.2 微米量级。盖玻片厚度差 10 微米引入的球差，就可以把这个数毁掉。说明书上的分辨率是「在规定盖玻片和规定筒长下」。现场用错盖玻片，是最贵的分辨率杀手，也是最便宜的修复——换成对的。

傅里叶平面滤波：4f 系统中间插刀口做施利仑，看相位物体；插环形光阑做暗场。这是第 5.1 节「光瞳切频谱」的直接仪器。对准焦面差一点，滤波就变成部分相位物体，图像说不清。调 4f 比调普通成像多一个「频谱面」对焦动作。

问题：这一节最容易测错的是什么

口头「已经远场」不计算菲涅耳数。几何焦点当激光打孔焦斑，忽略艾里和 M²。显微镜理论分辨率不附盖玻片条件。缩光圈一直缩到衍射反转仍当「更锐」。矩形光阑的星芒当故障。高 NA 仍用标量艾里，矢量效应已偏。挡光瞳边缘做「更清晰」的对比，其实在切高频。互补屏巴比涅原理用在有直射光的区域会误判。FFT 衍射传播采样不够，出现周期伪影当物理花样。

一小时对照练习

算菲涅耳数再开口说近场远场。圆孔第一暗环 1.22λ/D，换 F 数变成 1.22λF，和像元比一比。显微镜分辨率附上盖玻片和筒长条件。激光焦斑乘 M²，多模光纤不是镜头差。4f 系统在频谱面对焦，刀口和环形光阑各做什么滤波写清楚。缩光圈找到像差下降与衍射上升的交叉，不要单向缩到最小。矩形孔十字星芒是傅里叶不是故障。高 NA 标量公式会偏，需要时换矢量积分。互补屏只用在无直射光区域套巴比涅。

一节小结

• 原理：次波叠加；菲涅耳留二次相位，夫琅禾费即傅里叶变换
• 判据：菲涅耳数判断近场远场
• 尺度：单缝 (\lambda/b)，圆孔 (1.22\lambda/D)
• 透镜：焦面是夫琅禾费面，光瞳切频谱
• 分辨率：瑞利/阿贝是衍射铁箍；像差可能先卡死
• 超分辨：不否定衍射积分，而是改发光区或加先验

下一节把多孔径写成周期：光栅方程、闪耀、以及色散本领与光谱分辨率。

数字与边界再钉一次

菲涅耳数 a²/λz 大于 1 近场，远小于 1 远场。圆孔第一暗环角半径 1.22λ/D，F 数形式 1.22λF。显微镜 0.61λ/NA 必须附盖玻片与筒长。透镜焦面是夫琅禾费面，4f 中间插掩模就是乘空间滤波。孔径乘窗，频谱卷积 sinc 或 jinc，挡光瞳边缘等于切高频。焦斑预算乘 M²。缩光圈找到像差与衍射交叉。矩形孔十字星芒是傅里叶。高 NA 标量艾里会偏。巴比涅在无直射光区域才好用。FFT 传播要管采样。超分辨改发光区或加先验，不否定衍射积分本身。

收束对照

次波叠加。菲涅耳数决定近远场，远场就是孔径的傅里叶。艾里斑是圆孔的身份证，瑞利判据是两个身份证刚可并排。透镜把远场搬到焦面。盖玻片条件与光束质量因子，是两句让理论分辨率落地的话。挡光瞳就是切高频。星点旁瓣优先用圆孔语言认。高数值孔径下标量公式会偏，需要时换矢量积分。采样不够的数值传播会出现周期伪影，不要当成物理花样。

再补一刀

半波带片是衍射透镜的祖先，焦距随波长变，色散与玻璃相反。傅里叶光学的 4f 是把这一节变成可操作滤波器。显微镜油浸提高数值孔径，等于光瞳在频谱面上张得更大。最佳 F 数是像差下降与艾里变大的交叉，工厂检测应规定光圈。数值角谱法短距离稳，单步菲涅耳中等距离方便，长距离小心 chirp 采样。超分辨课放在艾里铁箍之后讲，顺序反了会把先验当成推翻波动方程。

过线补句

孔径越窄远场越宽，这和望远镜越大越锐是同一句话的两端。焦平面上场是入射孔径场的傅里叶，所以空间滤波器放在那儿。瑞利判据是经验门，现代常用斯特列尔和传递函数与像素对话。盖玻片差十微米足以毁掉高数值孔径的理论分辨率，换对的盖玻片是最便宜的修复。几何焦点只是近轴故事。

远场花样随距离只放大不变形，近场花样随距离演变，这是判断用哪套积分的现场口令。光瞳边缘被挡，高频回不来，对比可以很好但细节已经死了。星点旁瓣优先认艾里，再谈非球面要不要上。
菲涅耳数随身带，比看起来很远四个字可靠。
光瞳切频谱，细节回不来；想要锐的空域，必须留下足够宽的频谱窗口。
远场只放大。
近场会变花样。

透镜焦面把远场搬到有限距离，空间滤波的掩模放在那儿。挡光瞳边缘等于主动降低分辨率。
菲涅耳数随身带，比看起来很远可靠得多。
焦斑预算要乘进光束质量因子，多模光纤不是镜头差。