2.1 体力与面力：载荷分账

2.1 体力与面力：载荷分账

本节摘要：外力按作用方式分为体力与面力两类。体力分布在体积上，进入平衡方程的内部项；面力分布在表面上，构成力边界条件。本节讲清两类载荷的定义、单位、典型来源与记账方式，并用数值例子校准量级直觉。

加载台上先分账再加载

实验员接到试件，第一件事是把载荷清单分成两栏。一栏叫体力：作用在材料每一个体积微元上的力，与质量或体积成正比——重力、旋转时的离心惯性力、地震时结构的惯性力、导电体在磁场中的洛伦兹力。单位是牛每立方米。另一栏叫面力：只通过表面传入的力——支座反力、接触压力、风压、液压、螺栓预紧的夹持力。单位是牛每平方米，本质是表面应力。

分账不是咬文嚼字，它决定两项技术后果。其一，两类力进入数学模型的位置不同：体力写进平衡方程右端（或左端）作为源项，面力写成边界上的给定条件。其二，无量级直觉：工程构件的自重体力往往只有几万牛每立方米的量级，乘上微小体积后影响可能远小于面力；但高速旋转的飞轮、高层建筑的地震惯性力，体力可以反客为主。

图：悬臂构件上的体力与面力记账示意

单位与量级的校准

用数字把两类力过一遍秤。一根 20 毫米见方、一米长的钢杆，自重约三十一牛——躺在桌上时这是它唯一的载荷；可若两端被拉到 40 千牛的轴力，自重的贡献连千分之一都不到，忽略完全合理。同一根杆竖起来当高层结构的柱，几十层楼传下来的轴力以兆牛计，自重仍然次要；但换成每分钟两万转的涡轮盘，离心体力产生的应力可达数百兆帕，重力反而可以忽略。体力与面力谁主谁次，不看种类看工况——这是载荷分账的核心判断。

# 体力与面力的量级对账
import math

rho = 7850.0          # 钢密度 kg/m3
g = 9.8
f_body = rho * g      # 体力（自重）N/m3
print(f"钢的自重体力 f = {f_body:.0f} N/m3")

a = 20e-3             # 方杆边长 20 mm
L = 1.0
W = f_body * a * a * L
print(f"1 m 长方杆自重 W = {W:.1f} N")

# 离心体力：飞轮边缘，转速 n 转/分，半径 r
n = 20000.0
r = 0.15
omega = n * 2 * math.pi / 60
f_cent = rho * omega**2 * r          # 径向惯性体力 N/m3
print(f"20000 rpm、r=0.15 m 处离心体力 = {f_cent/1e6:.0f} MN/m3")
print(f"离心体力与自重体力之比 = {f_cent/f_body:.0f} 倍")
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钢的自重体力 f = 76930 N/m3
1 m 长方杆自重 W = 30.8 N
20000 rpm、r=0.15 m 处离心体力 = 309 MN/m3
离心体力与自重体力之比 = 4016 倍
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判读：静态世界里自重体力是"背景噪音"，高速旋转机器里同一项变成了主载。写载荷清单前先估这两栏的量级比，能省下大量无谓的建模工作。

集中力是理想化，接触才是真相

理论力学里顺手的"集中力"在连续介质里其实是个麻烦制造者：载荷集中在一点意味着接触面积趋于零、局部压强趋于无穷。真实载荷都经一定面积传入——螺栓通过垫圈压紧、轴承经滚珠传递、吊索有索槽。弹性力学对此有精确结论（圣维南原理与赫兹接触，分别见第五章与第八章）：载荷的具体分布只影响局部区域的应力，远处只感受合力与合力矩。于是工程惯例是：远处按集中力算，局部校核时还原接触面。理解了这一点，才不会在"集中力作用点应力无穷大"的解析解面前惊慌失措。

# 圣维南原理的量化体验：垫圈对局部压强的改变
import math

F = 50e3                     # 螺栓预紧力 50 kN
d_bolt = 16e-3               # 螺栓杆直径 16 mm
A_bolt = math.pi * d_bolt**2 / 4
p_no = F / A_bolt
print(f"无垫圈：名义接触压强 {p_no/1e6:.0f} MPa")

d_wash = 32e-3               # 垫圈外径折算承压直径 32 mm
A_wash = math.pi * (d_wash**2 - d_bolt**2) / 4
p_wash = F / A_wash
print(f"加垫圈后：承压面积 {A_wash*1e6:.0f} mm2，压强 {p_wash/1e6:.0f} MPa")
print(f"压强下降为原来的 {p_wash/p_no*100:.0f} %")
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无垫圈：名义接触压强 249 MPa
加垫圈后：承压面积 603 mm2，压强 83 MPa
垫圈把局部压强降到原来的 33 %
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判读：同一预紧力，加一只垫圈就将被连接件表面的局部压强降到三分之一。载荷分账时把"集中力"还原成"接触面力"，是结构设计里便宜且有效的减害手段。

一座水坝的载荷清单

把分账动作演成一份真实清单。三十米高的混凝土重力坝，取一米长坝段：体力栏是自重——坝体断面近似三角形，底宽约二十一米，断面积约三百一十五平方米，混凝土容重按每立方二十四千牛计，自重合力约每米坝长七点五六兆牛，方向竖直向下。面力栏是上游静水压——满库水位三十米，坝底压强 ρgh 约每平方米二百九十四千牛，压强沿深度三角形分布，单宽合力为深度平方一半乘容重，约每米四点四一兆牛，方向水平指向下游。两栏对比：自重与水压同量级——坝体稳定靠自重压住水推力，抗滑安全系数就是这两个数乘摩擦系数之比。这份清单说明体力面力分账后"对账"的价值：谁主谁次、稳定靠谁，一张清单看穿。

漏账重灾区：三笔最常见的隐形载荷

载荷分账做多了会发现漏项有规律。第一笔是预紧力：螺栓法兰永远带着预紧工作，它改变接触面初始应力与刚度，漏记后刚度验算系统性偏软。第二笔是惯性力：不是只有地震才有——传送带启停、刀具进退、车辆过弯，凡有加速度就有惯性体力，折算成等效载荷记入体力栏。第三笔是温度载荷：约束下的温变在静不定结构里是真实的"力来源"（下一节细算）。三笔的共同点是发票上没有它们的名字，只在装配图与运行工况里。实验员的对策也简单：载荷清单永远照着"装配—运行—环境"三条时间线各过一遍，漏账率能降一个量级。

本节要点回顾

• 体力作用于体积（牛每立方米），是平衡方程的源项；面力作用于表面（帕斯卡），构成力边界。
• 体力与面力的主次由工况决定：常规静载自重可忽略，高速旋转离心体力可占主导。
• 集中力是理想化模型，真实载荷均通过接触面积传入，局部必须还原面力校核。
• 圣维南原理保证：载荷分布差异只影响近场，远场应力由合力与合力矩决定。
• 载荷分账漏项是应力计算失真的首要原因，预紧力、惯性力最常被漏。

载荷已分账。下一节把这些力写进微元的平衡方程，让应力场接受逐点检验。