2.2 平衡方程与柯西运动方程

2.2 平衡方程与柯西运动方程

本节摘要：对连续介质中的微元做力与力矩平衡，得到逐点成立的平衡方程；引入惯性项即柯西运动方程。平衡方程是应力场的第一道关卡，只含应力分量与体力，不含材料信息——本节讲解其来源、形式与检验方法。

逐点平衡：从整体到微元

刚体力学里我们给整根梁列平衡方程，三个方程解未知反力。连续介质把这套要求精细化到每一点：取边长 d x、d y、d z 的微元，它两侧的应力分量相差一个增量（如 σx 与 σx 加偏导数乘 d x），再加上体力，列合力为零与合力矩为零。令微元尺寸趋于零，高阶小量略去，得到三个偏微分方程，这就是平衡方程：

x 方向：偏 σx 加偏 τxy 加偏 τzx 加 fx 等于零；y、z 方向轮换。写成紧凑形式是应力张量的散度加体力矢量等于零。

力矩平衡给出剪应力互等（τxy 等于 tyx 等），上一章已经用过。值得注意的是方程里没有材料参数：无论钢、橡胶还是混凝土，只要处于静态平衡，应力场就得满足同样的三个方程。材料的性格要到本构方程才登场。这个分离是连续介质力学结构清晰的根源：平衡管普适性，本构管个性。

静态升级为动态：柯西运动方程

若微元在加速，合力不再为零，而是等于质量乘加速度。把体力加内力合体的散度等于密度乘位移对时间的二阶偏导，即为柯西运动方程。静态平衡是加速度为零的特例。波传播、振动、冲击响应（第九章）用的都是这组方程；而弹性波速恰好只依赖弹性模量、剪切模量与密度——又一次体现"平衡定结构、本构定快慢"的分工。

图：微元两侧应力增量与合力构成平衡

检验一个应力场：动手做一次

平衡方程最有用的打开方式不是解它，而是拿它验货。第五章会给出各种解析应力场，拿到手第一步就是代入平衡方程核对。做一个平面问题的完整流程：给定应力函数生成的应力场，逐项求偏导，代入检验是否归零。

# 检验应力场是否满足平面平衡方程（无体力情形）
# 平衡方程要求：
#   偏 sx + 偏 txy = 0
#   偏 sy + 偏 txy = 0
import sympy as sp

x, y = sp.symbols('x y')

# 候选应力场一（随手构造）
sx1, sy1, txy1 = 3*x**2*y, x**3, -3*x*y**2
r1 = sp.diff(sx1, x) + sp.diff(txy1, y)
r2 = sp.diff(sy1, y) + sp.diff(txy1, x)
print("候选场一 残差：", sp.simplify(r1), sp.simplify(r2))

# 候选应力场二（来自应力函数的正规解）
sx2, sy2, txy2 = x**2, y**2, -2*x*y
r1 = sp.diff(sx2, x) + sp.diff(txy2, y)
r2 = sp.diff(sy2, y) + sp.diff(txy2, x)
print("候选场二 残差：", r1, r2)
​

候选场一 残差： 0 -3*y**2
候选场二 残差： 0 0
​

判读：候选场一在 x 方向平衡、y 方向残差 -3y² 不归零，判定不合格；候选场二两个方程同时归零，才允许进入下一轮边界条件核对。工程里拿到任何应力结果（解析解、有限元输出），先做一次这样的平衡校验，能拦下大半建模错误——比事后对照实验便宜得多。

带体力的版本与自相平衡

体力不为零时方程右端挂上 fx、fy、fz。最常见的是自重：竖向体力等于密度乘重力加速度。有趣的特例是自相平衡的应力场——体力为零、边界无载，应力却非零。焊接残余应力就是典型：内部拉压互抵，整体合力为零，却实实在在影响疲劳寿命（第八章）。平衡方程对它无异议，因为它处处自洽；能识别它的只有破坏实验与残余应力测量。

再做一个带体力的数值演算：竖直深埋土层或叠放钢块的自重应力随深度线性增长，密度乘重力加速度乘深度。十米深的钢块底部自重应力不到一兆帕，而十米水头压强约零点一兆帕——量级对比帮助决定何时必须计体力。

# 自重应力随深度的分布
rho_steel, g = 7850.0, 9.8
for depth in (1, 5, 10, 20):
    sz = rho_steel * g * depth / 1e6
    print(f"钢柱深度 {depth:>2} m：自重竖向应力 = {sz:.3f} MPa")
rho_water = 1000.0
print(f"10 m 水深压强 = {rho_water*g*10/1e6:.2f} MPa")
​

钢柱深度  1 m：自重竖向应力 = 0.077 MPa
钢柱深度  5 m：自重竖向应力 = 0.385 MPa
钢柱深度 10 m：自重竖向应力 = 0.769 MPa
钢柱深度 20 m：自重竖向应力 = 1.539 MPa
​

判读：土木尺度（几十米）下自重应力进入兆帕量级，不可忽略；机械构件尺度（几十毫米）下则完全可以略去。体力取舍的判据是特征长度，不是教条。

运动方程的快速产出：两个波速

柯西运动方程最精炼的副产品是弹性波速。细长杆中纵向应力波速 c 等于根号下 E 比 ρ，钢的取值约每秒五千米——两百吉帕除以七千八百五十千克每立方米，开方即得。剪切波速 c_s 等于根号下 G 比 ρ，约每秒三千一百米。这两个数在实验与诊断两端都吃香：超声探伤用兆赫级脉冲在钢中波长毫米级，缺陷小于半波长就难分辨，探头频率是这么选出来的；打桩与锤击检测靠应力波在桩底的反射时刻反查桩长与缺陷，走的还是同一支方程。静力学看到的是"平衡"，把惯性项放回去，同一组方程立刻报出材料传信的速度——平衡与动力学本是一家。

把平衡校验装进日常工作流

验货动作不必等到拿到解析解才做。有限元后处理里支反力之和与外载的对账是一票否决项：差上百分之一，先查载荷平衡搬运漏了哪一笔，再谈网格。解析演算里则有个轻量替代——检查应力场的边界值是否与给定面力吻合，5.1 节拉梅解在筒壁处回归内压值，就是这类自检。把"平衡对账"从最后一步挪到第一步，错误在纸面上就被拦住；挪得越晚，返工越贵。这条工作流习惯的价值不亚于本章任何一条公式。

本节要点回顾

• 平衡方程对连续介质逐点成立，只含应力与体力，不含材料参数。
• 力矩平衡导出剪应力互等，运动版本即柯西运动方程，静态是惯性项为零的特例。
• 平衡方程是验货工具：任何应力场先代入核对，残差非零即退货。
• 自相平衡的应力场（残余应力）能通过平衡检验却影响寿命，需实验手段识别。
• 体力是否计入取决于特征长度：土木计自重，细小机械件可忽略。

方程有了，还差边界条件把它钉死。下一节处理夹持与载荷的翻译问题。