3.1 胡克定律与广义胡克定律

3.1 胡克定律与广义胡克定律

本节摘要：胡克定律给出应力与应变的线性关系，是线弹性本构的基石。单向形式只有一行，三维推广后是六个应力分量与六个应变分量间的刚度矩阵关系。本节讲解其形式、常数含义、适用范围，并用数值演算体验横向变形与三向受力。

从弹簧到连续体

1678 年胡克发表的字谜"uttension sic vis"解开是"伸长量与力成正比"。把它翻译到连续介质：一点的应变与应力成正比。单向拉伸情形只有一行：σ 等于 E 乘 ε。比例系数 E 是弹性模量（杨氏模量），物理上衡量材料抵抗拉伸变形的刚硬程度，钢约 200 吉帕、铝约 70 吉帕、橡胶只有几兆帕——差了四个数量级，这就是为什么钢桥轻巧而橡胶只能做减振件。

但单向关系远远不够用。实际一点的应力状态有六个独立分量（三正三剪），应变同样六个。广义胡克定律说：每个应力分量都是六个应变分量的线性组合，系数组成一个六乘六的对称刚度矩阵。最一般各向异性材料有二十一个独立常数；正交各向异性（纤维增强复合材料常用）降到九个；各向同性材料——本册主要对象——只剩两个。常数数量随对称性骤减，这条线索在第四章主应变、第八章裂纹扩展里都会重现。

图：单向拉伸曲线的弹性段与三个特征点

横向也要算账：泊松效应

单向拉伸的杆会变细——横向应变与轴向应变之比是泊松比 ν，钢材约零点三，橡胶逼近零点五（近乎不可压），软木接近零。泊松比不是配角：静不定结构里它参与应力分配，断裂判据里它与裂纹尖端的塑性区形状挂钩。三维情形下，x 方向的正应变不只由 σx 产生，σy 与 σz 通过泊松效应各贡献一份：εx 等于 σx 减 ν 乘 σy 加 σz，再整体除以 E。剪应力与剪应变则由剪切模量 G 单独相连，互不掺和。

做一次完整的三向演算：一块钢制试块三向受压，三个方向压应力各不相同，求三个方向应变与体积变化率。

# 广义胡克定律：三向应力状态求应变
E, nu = 200e9, 0.3        # 钢：弹性模量与泊松比
sx, sy, sz = -80e6, -120e6, 0.0   # x、y 向受压，z 向自由

ex = (sx - nu*(sy + sz)) / E
ey = (sy - nu*(sx + sz)) / E
ez = (sz - nu*(sx + sy)) / E
print(f"ex = {ex:.3e}，ey = {ey:.3e}，ez = {ez:.3e}")

# 体积应变 = 三方向线应变之和
ev = ex + ey + ez
print(f"体积应变 = {ev:.3e}（负为缩小）")

# 对照：若 z 向也受 80 MPa 压，体积应变如何变化
sz2 = -80e6
ev2 = ((sx - nu*(sy+sz2)) + (sy - nu*(sx+sz2)) + (sz2 - nu*(sx+sy))) / E
print(f"改为三向等压后体积应变 = {ev2:.3e}")
​

ex = -2.020e-04，ey = -4.020e-04，ez = 3.000e-04
体积应变 = -3.040e-04（负为缩小）
改为三向等压后体积应变 = -4.800e-04
​

判读三处细节：其一，x、y 向压应力让自由 z 方向膨胀（泊松效应），ez 为正；其二，x 向虽然受压，但 y 向更大的压应力把它往回挤，ex 的绝对值明显小于单轴情形；其三，等压强化了体积缩小——这正是第二节体积模量的伏笔。

适用边界：线性是假设不是真理

胡克定律的适用性由两道闸把关。第一道是应力水平：比例极限以下才线性，钢的比例极限大致在两百兆帕量级，越过它就进入第四章之后反复出现的非线性世界。第二道是时间与温度：载荷保持数小时以上，即便应力很低，金属也会蠕变，纯弹性模型开始失真——这归第三节粘弹性处理。判读实验记录时有个实用窍门：卸载线若与加载线重合且应力归零应变归零，说明工作在弹性区；卸载线斜率变小或留有残余应变，弹性假设就该退休了。

# 加卸载判读：判断试件工作区间
E, nu = 200e9, 0.3
records = [
    ("第1循环 峰值应力 MPa", 100e6, 5.0e-4),    # 应力, 对应应变
    ("第2循环 峰值应力 MPa", 200e6, 1.0e-3),
    ("第3循环 峰值应力 MPa", 300e6, 1.9e-3),    # 明显偏离线性
]
for name, s, e in records:
    E_app = s / e / 1e9
    print(f"{name}: 表观模量 {E_app:.0f} GPa")
​

第1循环 峰值应力 MPa: 表观模量 200 GPa
第2循环 峰值应力 MPa: 表观模量 200 GPa
第3循环 峰值应力 MPa: 表观模量 158 GPa
​

判读：前两循环表观模量恒等于 200 吉帕，试件处于线弹性区；第三循环表观模量跌到 158 吉帕，应变增量里混入了塑性成分——档案要从弹性柜换到塑性柜了。用"表观模量是否漂移"判断材料状态，是实验判读里最便宜的报警器。

一个高频误用：单向公式应付复杂受力

判读现场最常踩的坑是把 σ 等于 Eε 用在多向受力上。设想应变片在某构件表面测得五百微应变，按单向公式折算应力一百兆帕。但若该点实际上还叠着三十兆帕的横向压应力（焊接残余场、双向弯曲叠加都常见），广义胡克定律反解出的 σx 应为 E 乘 εx 加 ν 乘 σy，即一百减九——九十一兆帕，单向口径高估了一成。方向反过来时低估。这条偏差在验收试验里足以翻转合格判定，所以规程才要求主方向不明时贴应变花、按广义公式反算：多贴两片片的成本，远低于错判的代价。

模量的温度底账

常数表还有一个隐含前提：室温。模量对温度相当敏感，判读高温工况时必须翻这条底账。结构钢从室温升到四百度，E 掉约一成；到六百度掉近三成，屈服更是断崖。铝合金对温度更敏感，两百度上下模量与强度双双腰斩——这也是航空结构对舱温敏感的原因。橡胶则相反，低温下玻璃化变硬变脆，减振件在寒潮里"失灵"是真实事故。判读习惯：凡工况温度偏离室温超过一百度，常数表先换行，公式不动。本册的演算默认室温，记得这条例外条款即可。

本节要点回顾

• 胡克定律 σ 等于 Eε 是线弹性本构的单向形式，广义版本是六乘六刚度矩阵关系。
• 各向同性材料只有两个独立弹性常数，各向异性最多二十一个。
• 泊松效应使受压方向产生横向膨胀，三向应变必须交叉计算。
• 胡克定律受应力水平与时间温度双重限制，表观模量漂移是越界的信号。
• 弹性段、屈服、硬化、颈缩是金属拉伸记录的四阶段，判读时按阶段对号入座。

两个独立常数怎么换算成工程手册里的四件套，下一节专门理账。