3.4 塑性：屈服准则、流动法则与硬化
3.4 塑性：屈服准则、流动法则与硬化
本节摘要：应力越过弹性极限后，材料进入塑性：卸载留下永久变形。本节讲清塑性理论的三大组件——屈服准则（何时屈服）、流动法则（往哪流）、硬化准则（如何变强），并用 Mises 与 Tresca 两把尺子对典型应力状态做可复算的判读。
卸载不回头的世界
弹性世界里应力应变一一对应，卸载原路返回；塑性世界打破了这个一一对应——应变不仅取决于当前应力，还取决于走过的路径。拉伸试件越过屈服后卸载，应力沿斜率近似等于 E 的直线回落，但应变只回到残余值：那部分塑性应变永久留存。本构关系从"状态方程"变成了"路径积分"，这就是塑性计算远比弹性繁琐的根源。
塑性理论要回答三问，缺一不可。何时屈服：给定六分量应力状态，判它是否越线——答案由屈服准则给出。往哪流：屈服后塑性应变增量的方向——由流动法则给出。如何变强：继续加载，屈服面怎么扩大或移动——由硬化准则给出。三问合成一套"流动理论"，是第九章有限元非线性分析的引擎。
屈服准则：两把尺子
金属的拉伸与压缩屈服强度几乎相同，且静水压强几乎不引起屈服（深海里的钢块不会被压"屈服"，只会被压小体积）。据此，屈服由偏应力主导，两大经典准则应运而生。
Tresca 准则（最大剪应力）：最大主应力与最小主应力之差达到 2 倍单轴屈服应力即屈服。几何上是主应力空间里的六棱柱。判读简单，偏保守，手算常用。
Mises 准则（畸变能）：偏应力第二不变量 J2 达到临界值即屈服，等效应力 σe 等于根号下 3J2，与单轴屈服应力比较。几何上是圆柱面，光滑连续，实验吻合度略优，数值计算（第九章有限元）默认用它。平面应力下两者只差约百分之十五——对大多数工程判读，这个差距不改变结论。
图：平面应力下的两个屈服轨迹
判读一批应力状态
给出四个典型工况，用两把尺子同时判读，材料取 Q235（屈服应力 235 兆帕）。
# Mises 与 Tresca 屈服判读 import math sigma_y = 235.0 # 屈服应力 MPa def judge(name, s1, s2, s3=0.0): s = sorted([s1, s2, s3], reverse=True) # Mises 等效应力 se = math.sqrt(0.5 * ((s[0]-s[1])**2 + (s[1]-s[2])**2 + (s[2]-s[0])**2)) # Tresca 最大剪应力之半换算 tr = s[0] - s[2] f_m = "屈服" if se >= sigma_y else "弹性" f_t = "屈服" if tr >= sigma_y else "弹性" print(f"{name}: Mises 等效应力 {se:6.1f} MPa {f_m}；" f"Tresca 主应力差 {tr:6.1f} MPa {f_t}") judge("单向拉伸 200 MPa", 200, 0, 0) judge("单向拉伸 250 MPa", 250, 0, 0) judge("等双轴等压 300 MPa", -300, -300, -300) judge("纯剪 140 MPa", 140, -140, 0)
单向拉伸 200 MPa: Mises 等效应力 200.0 MPa 弹性；Tresca 主应力差 200.0 MPa 弹性 单向拉伸 250 MPa: Mises 等效应力 250.0 MPa 屈服；Tresca 主应力差 250.0 MPa 屈服 等双轴等压 300 MPa: Mises 等效应力 0.0 MPa 弹性；Tresca 主应力差 0.0 MPa 弹性 纯剪 140 MPa: Mises 等效应力 242.5 MPa 屈服；Tresca 主应力差 280.0 MPa 屈服
判读四行记录：单向 250 兆帕，两把尺子一致判屈服，这正是屈服应力的定义工况；三向等压 300 兆帕，等效应力为零——静水压再深金属也不屈服，偏应力主导论的直接证据；纯剪 140 兆帕时 Mises 已判屈服（242.5 恰约等于 235 乘 1.032，接近纯剪屈服理论值 235 除以根号 3 约等于 136），Tresca 却要到 235 的主应力差即纯剪约 117.5 兆帕才屈服——注意两把尺子在纯剪下的排名相反，Tresca 更保守的说法只在部分工况成立，判读必须代入实际应力状态。
屈服之后：流动与硬化
屈服后塑性应变增量方向的规则叫流动法则，Mises 塑性采用关联流动：塑性应变增量垂直于屈服面。物理直观是"体积不变"——金属塑性变形几乎不改变体积，泊松比等效逼近零点五。冲压件变薄、挤压件出飞边，都是体积守恒在几何上的兑现。
硬化准则回答"继续加载会怎样"。各向同性硬化：屈服面整体均匀扩大，单轴曲线表现为屈服应力随塑性应变升高，卸载再反向加载时，反向屈服点也随之前移——模型简单，适合单调加载。随动硬化：屈服面不扩大只平移，反向加载时屈服提前（包辛格效应）——适合循环加载，低周疲劳分析（第八章）的标配。选错硬化准则，循环计算会在几个循环后发散或失真。
# 双线性随动硬化：一次拉-压循环的应力应变响应 E = 200e9 # 弹性模量 Pa Et = 2e9 # 硬化模量（切线）Pa sigma_y0 = 235e6 # 初始屈服应力 Pa def stress_strain(strain_path): s = 0.0 back = 0.0 # 屈服面中心（随动硬化背应力） prev_e = 0.0 out = [] for e in strain_path: de = e - prev_e prev_e = e trial = s + E * de if trial > back + sigma_y0: # 正向屈服 d_ep = (trial - (back + sigma_y0)) / (E + Et) s = back + sigma_y0 + Et * d_ep back += Et * d_ep elif trial < back - sigma_y0: # 反向屈服 d_ep = (trial - (back - sigma_y0)) / (E + Et) s = back - sigma_y0 + Et * d_ep back += Et * d_ep else: s = trial out.append((e, s)) return out # 拉到 0.004，卸载并反向压到 -0.004，再卸回零 path = ([0.004*i/20 for i in range(21)] + [0.004 - 0.008*i/40 for i in range(1, 41)] + [-0.004 + 0.004*i/20 for i in range(1, 21)]) res = stress_strain(path) for i in (0, 8, 20, 30, 40, 60, 80): e, s = res[i] print(f"应变 {e:+.4f}：应力 {s/1e6:+7.1f} MPa")
应变 +0.0000：应力 +0.0 MPa 应变 +0.0016：应力 +235.8 MPa 应变 +0.0040：应力 +240.6 MPa 应变 +0.0020：应力 -159.4 MPa 应变 +0.0000：应力 -232.7 MPa 应变 -0.0040：应力 -240.6 MPa 应变 +0.0000：应力 +232.7 MPa
逐行判读这份循环记录：拉到应变 0.0016 时越过初始屈服（235.8 兆帕），此后沿硬化模量缓升到峰值 240.6 兆帕（硬化）；卸载段先沿斜率 E 弹性回落，到应变为正的 0.0020 时应力已翻负——还没回到零应变就提前进入了反向屈服（流动与包辛格效应）；反向压满后卸回零，残余应力 +232.7 兆帕，塑性应变清晰留痕。若把随动硬化换成各向同性硬化，反向屈服会推迟到 -235 兆帕附近，滞回环形状完全不同——循环荷载下硬化准则的选择不是细节，是结论。这正是第八章疲劳计算对材料卡片挑剔的原因。
本节要点回顾
- 塑性使本构从状态方程变为路径相关，卸载留下残余应变。
- 三组件缺一不可：屈服准则定何时、流动法则定方向、硬化准则定后劲。
- Mises 等效应力与 Tresca 主应力差是两把常用尺，静水压不参与金属屈服。
- 金属塑性体积近似不变，这是关联流动法则的物理底色。
- 单调加载用各向同性硬化，循环加载须用随动硬化以捕捉包辛格效应。
档案三套齐全。下一章转到几何侧：变形怎么测量、怎么判读。