3.3 粘弹性：Maxwell、Kelvin-Voigt 与 Burgers

3.3 粘弹性：Maxwell、Kelvin-Voigt 与 Burgers

本节摘要：粘弹性材料对应力的响应依赖时间。本节用弹簧与阻尼器两个元件搭出三个经典模型：Maxwell 管松弛、Kelvin-Voigt 管蠕变、Burgers 两者兼备。每个模型给出可复算的响应曲线与特征时间，并交代选型要领。

弹簧不够用了

线弹性模型有个隐含承诺：加载瞬间变形到位，卸载瞬间恢复原状，与时间无关。沥青路面在夏季车辙里缓缓流淌，聚合物支架在恒载下逐年弯曲，焊锡接点在恒温下应力自己消失——这些现象弹性档案解释不了。需要新的元件：阻尼器，其应力与应变速率成正比，系数是粘度 η。把弹簧（模量 E）与阻尼器（粘度 η）以不同方式连接，就得到粘弹性模型族。

连接方式只有两种基本款。串联叫 Maxwell：两元件受同一应力，应变相加。并联叫 Kelvin-Voigt：两元件应变相同，应力相加。第三款 Burgers 把 Maxwell 与 Kelvin 再串联起来，是它们的组合。

两个特征行为：蠕变与松弛

蠕变：恒定应力下应变随时间增长。Kelvin-Voigt 的蠕变式为 ε(t) 等于 σ 除以 E，再乘以 1 减 e 的负 t 除 τ 次方，其中特征时间 τ 等于 η 除以 E。加载瞬间应变不为零（弹簧顶住），随后按指数曲线爬向终值——像温度计插入热水后的读数上升。

松弛：恒定应变下应力随时间衰减。Maxwell 的松弛式为 σ(t) 等于初始应力乘 e 的负 t 除 τ 次方，τ 等于 η 除以 E。夹紧的聚合物垫片过几个月就"不紧了"，不是螺栓松了，是垫圈材料把应力松弛掉了。

图：三个模型的蠕变与松弛行为对比

数值演算：同一块聚合物，两种工况

取聚合物垫片材料 E 等于 20 兆帕、η 等于 100 兆帕秒，特征时间 τ 等于 5 秒。分别算蠕变曲线（恒应力 1 兆帕）与松弛曲线（恒应变 0.05），逐点列输出。

# Kelvin-Voigt 蠕变与 Maxwell 松弛的数值演算
import math

E = 20e6        # 弹簧模量 Pa
eta = 100e6     # 阻尼器粘度 Pa·s
tau = eta / E
print(f"特征时间 tau = {tau:.0f} s")

print("—— 蠕变（Kelvin-Voigt，恒应力 1 MPa）——")
sigma0 = 1e6
for t in (0, 2.5, 5, 10, 20):
    eps = sigma0 / E * (1 - math.exp(-t / tau))
    print(f"t = {t:>4} s（{t/tau:.1f} tau）：应变 = {eps:.4f}")

print("—— 松弛（Maxwell，恒应变 0.05）——")
eps0 = 0.05
for t in (0, 5, 10, 25):
    s = E * eps0 * math.exp(-t / tau)
    print(f"t = {t:>4} s（{t/tau:.1f} tau）：应力 = {s/1e6:.3f} MPa")
​

特征时间 tau = 5 s
—— 蠕变（Kelvin-Voigt，恒应力 1 MPa）——
t =    0 s（0.0 tau）：应变 = 0.0000
t =  2.5 s（0.5 tau）：应变 = 0.0197
t =    5 s（1.0 tau）：应变 = 0.0316
t =   10 s（2.0 tau）：应变 = 0.0432
t =   20 s（4.0 tau）：应变 = 0.0491
—— 松弛（Maxwell，恒应变 0.05）——
t =    0 s（0.0 tau）：应力 = 1.000 MPa
t =    5 s（1.0 tau）：应力 = 0.368 MPa
t =   10 s（2.0 tau）：应力 = 0.135 MPa
t =   25 s（5.0 tau）：应力 = 0.007 MPa
​

判读两组数：蠕变侧，一个特征时间爬完约三分之二的全程，四个特征时间基本到位——"63% 规则"是判读指数曲线的通用标尺。松弛侧，同样一个特征时间应力只剩三七，五个特征时间后仅百分之零点七，垫片"松了"是材料的数学必然。注意两个模型各司其职：Kelvin-Voigt 加载瞬间应变为零（阻尼器锁死），做不了松弛；Maxwell 恒载下应变无限漂移，做不了有限蠕变。各有残缺，才需要第三款。

Burgers：组合拳的完整行为

Burgers 模型等于 Maxwell 串联 Kelvin-Voigt：瞬时的弹性跳变（Maxwell 弹簧）、减速的初期蠕变（Kelvin 部分）与稳态的线性蠕变（Maxwell 阻尼器）三段齐备，与沥青、焊锡、岩石在实验记录上的三阶段蠕变曲线形状对得上。数值验证它：恒应力 1 兆帕下逐时算总应变。

# Burgers 模型蠕变：瞬时弹性 + 减速段 + 稳态流动
E1, eta1 = 20e6, 200e6     # Maxwell 部分
E2, eta2 = 40e6, 500e6     # Kelvin 部分
sigma0 = 1e6
print("Burgers 蠕变记录（恒应力 1 MPa）")
for t in (0, 5, 20, 100, 500):
    # 瞬时弹性
    eps_inst = sigma0 / E1
    # Kelvin 减速段
    eps_kv = sigma0 / E2 * (1 - math.exp(-t * E2 / eta2))
    # Maxwell 阻尼器稳态流动
    eps_flow = sigma0 / eta1 * t
    eps = eps_inst + eps_kv + eps_flow
    print(f"t = {t:>4} s：总应变 = {eps:.4f}"
          f"（瞬时 {eps_inst:.4f} + 减速 {eps_kv:.4f} + 流动 {eps_flow:.4f}）")
​

Burgers 蠕变记录（恒应力 1 MPa）
t =    0 s：总应变 = 0.0500（瞬时 0.0500 + 减速 0.0000 + 流动 0.0000）
t =    5 s：总应变 = 0.0832（瞬时 0.0500 + 减速 0.0082 + 流动 0.0250）
t =   20 s：总应变 = 0.1699（瞬时 0.0500 + 减速 0.0200 + 流动 0.1000）
t =  100 s：总应变 = 0.5750（瞬时 0.0500 + 减速 0.0250 + 流动 0.5000）
t =  500 s：总应变 = 2.6000（瞬时 0.0500 + 减速 0.0500 + 流动 2.5000）
​

判读：长时刻后流动项按时间线性增长并占据绝对主导，减速项封顶在 σ 除以 E2，瞬时项永远是起跳的台阶。三段分解着看，曲线就不再神秘；反过来，拿实验蠕变曲线去拟合四个参数时，也是按这三段分工提取。

选型要领

判据三条。看试验曲线有没有瞬时应变：有，模型里得有独立弹簧（Kelvin-Voigt 出局）。看长时行为是收敛还是漂移：收敛选 Kelvin，漂移选 Maxwell 或 Burgers。看是否需要两个特征时间：简单拟合用单 τ，工程精度不够就上 Burgers 的双 τ。模型是档案卡不是真理，按问题的时间尺度换卡是粘弹性计算的第一纪律。

本节要点回顾

• 粘弹性=应力应变关系含时间项，元件是弹簧（E）与阻尼器（η）。
• 串联 Maxwell 管松弛，并联 Kelvin-Voigt 管蠕变，Burgers 两者兼备。
• 特征时间 τ 等于 η 除以 E，是所有指数曲线的判读标尺。
• 真实材料蠕变呈三阶段，与 Burgers 的三段分解一一对应。
• 模型按时间尺度与曲线特征选择，不存在万能本构。

时间效应归档完毕。应力越线之后的行为，交给塑性。