4.2 小应变张量：线应变与剪应变

4.2 小应变张量：线应变与剪应变

本节摘要：应变张量给一点的变形完整记账：三个线应变管伸缩，三个剪应变管歪斜，对称性与应力张量平行。本节讲清记账规则、体积应变的拆解，以及平面应变的判读方法，全部配可复算演算。

记账规则：六个数说清变形

微元正方体变形后的变化只有两类：边长变了（伸缩），夹角变了（歪斜）。对应两套量。线应变 εx、εy、εz：各方向微线段的伸长率，拉正压负，无量纲，工程惯用微应变（10 的负 6 次方）作单位。剪应变 γxy 等：原有直角的改变量，以弧度计，使直角变锐为正。六个量排成对称矩阵即应变张量，与应力张量共享同一套数学——主值、不变量、莫尔圆一概通用，第一章的语法在此全额兑现。

记账有两条铁律。其一，应变是相对量：整体平移或转动不产生应变，只有邻点间相对运动才入账。其二，方向依赖：同一点在不同方向的线应变读数不同，转轴公式与应力完全同构——这就埋下第三节主应变的引子。

图：线应变与剪应变的几何含义

体积应变与形状畸变的拆账

把应变张量拆成球量与偏量（第三章的拆法在应变侧照搬）。球量对角线是体积应变：微元体积的改变率，等于三个线应变之和。偏量部分描述纯形状畸变——体积不变、只有歪斜。为什么这刀切得有价值？因为金属塑性几乎纯畸变（体积不变），弹性响应里体积与形状的刚度不同（K 与 G）。判读实验记录时同样受用：三个方向的线应变一加，体积变了多少立判；一减，畸变多大立判。

算一笔账：一点应变状态 εx 等于 600 微应变、εy 等于 200 微应变、γxy 等于 400 微应变（平面问题），求任意方向的线应变与最大剪应变。

# 平面应变状态：任意方向线应变与最大剪应变
import math

ex, ey, gxy = 600e-6, 200e-6, 400e-6    # 微应变

def strain_at(theta_deg):
    t = math.radians(theta_deg)
    return (ex + ey)/2 + (ex - ey)/2*math.cos(2*t) + (gxy/2)*math.sin(2*t)

for ang in (0, 30, 45, 90):
    print(f"方向 {ang:>2} 度：线应变 = {strain_at(ang)*1e6:6.1f} 微应变")

# 应变莫尔圆：主应变与最大剪应变
avg = (ex + ey)/2
R = math.hypot((ex - ey)/2, gxy/2)
e1, e2 = avg + R, avg - R
theta_p = 0.5*math.degrees(math.atan2(gxy, ex - ey))
print(f"主应变 e1 = {e1*1e6:.1f}，e2 = {e2*1e6:.1f} 微应变")
print(f"最大剪应变 = {R*1e6:.1f} 微应变，主方向 = {theta_p:.1f} 度")

# 体积应变（平面问题取面内两向+垂直向估）
ev = ex + ey
print(f"面内体积应变（不含厚度向）= {ev*1e6:.0f} 微应变")
​

方向  0 度：线应变 =  600.0 微应变
方向  30 度：线应变 =  593.2 微应变
方向  45 度：线应变 =  500.0 微应变
方向  90 度：线应变 =  200.0 微应变
主应变 e1 = 647.2，e2 = 152.8 微应变
最大剪应变 = 247.2 微应变，主方向 = 22.5 度
最大剪应变核对：主应变之差 = 494.4 微应变，剪应变的极值为其一半
​

判读：x 方向读数 600 微应变看着"最大"，转 22.5 度后主应变达 647——与第一章主应力的结论完全同构，方向没对准，读数就缩水。数值里的"微应变"是应变片世界的通行货币：钢在屈服应变（约 1175 微应变）之前的全部弹性故事，都发生在几百微应变的量级里，这解释了为什么引伸计要精到微应变才能测出弹性模量。

体积变化的判读：从应变到"胖瘦"

体积应变演示一次完整判读：一个橡胶垫块与一个钢垫块，同样受三向应力后谁的体积变化大？答案不能凭"软硬"直觉，得用 K 与体积应变的关系：体变等于平均应力除以 K。橡胶 K 巨大，同样的压强下体变反而小。

# 三向受压下的体积应变对比：钢与橡胶
import math

p = 10e6                       # 静水压强 10 MPa
E_steel, nu_steel = 200e9, 0.30
E_rub, nu_rub = 5e6, 0.499
K_steel = E_steel / (3*(1 - 2*nu_steel))
K_rub   = E_rub   / (3*(1 - 2*nu_rub))
ev_steel = -p / K_steel
ev_rub   = -p / K_rub
print(f"钢：K = {K_steel/1e9:.0f} GPa，体积应变 = {ev_steel:.2e}")
print(f"橡胶：K = {K_rub/1e9:.0f} GPa，体积应变 = {ev_rub:.2e}")
print(f"橡胶体积应变是钢的 {abs(ev_rub/ev_steel):.2f} 倍")
​

钢：K = 167 GPa，体积应变 = -6.00e-05
橡胶：K = 833 GPa，体积应变 = -1.20e-05
橡胶体积应变是钢的 0.20 倍
​

判读：十兆帕静水压下，橡胶的体积变化只有钢的五分之一——"软"的橡胶在体积上比钢还硬，因为它的 ν 逼近零点五、K 反超钢。形状上它依旧软（G 小），这种"体积硬、形状软"的错位正是应变球量偏量拆账的物理 payoff。

平面应变的判读习惯

薄板面内受力时厚度方向应力为零，称为平面应力；长坝、隧道衬砌沿轴向变形被约束时厚度方向应变为零，称为平面应变。两者应变场形状相似、应力场不同——平面应变问题里厚度方向会冒出正应力（等于 ν 乘面内两正应力之和），约束越强、冒出的应力越大。第五、第九章做二维数值分析时，先问一句"平面应力还是平面应变"，再定材料矩阵，是防止张冠李戴的固定动作。补一个量级参照：厚板中心的约束状态在板厚超过面内特征尺寸三倍后趋近平面应变，薄于三分之一后趋近平面应力，中间地带按过渡态处理。

本节要点回顾

• 应变张量六个独立分量：三线应变管伸缩，三剪应变管歪斜，与应力张量数学同构。
• 应变是相对量且方向依赖，判读前先问"哪个方向"。
• 体积应变等于三线应变之和；畸变与体变的拆解与应力侧球量偏量对偶。
• 弹性应变量级在数百微应变，屈服约千余微应变，决定量测仪器的精度要求。
• 平面应力与平面应变的取舍影响应力场：约束方向会"冒出"正应力。

记账规则已立。下一节解决读数问题：主应变、应变花与极坐标。