4.3 主应变、应变花与极坐标

4.3 主应变、应变花与极坐标

本节摘要：主应变与主方向把一点的变形压缩为三个数加三个方向；应变花用三片互成角度的应变片实测读数反解主应变；极坐标形式服务轴对称试件。本节完成从"贴片读数"到"主应变判读"的完整实验流程，全部演算可复算。

贴片角度差一点，读数差一截

应变片只量它自己轴线方向的伸长率。主应变方向未知时，贴片方向就是赌运气：上一节算过，偏 22.5 度，读数从 647 缩到 593 微应变；方向接近 45 度主方向时，读数可能只剩主应变的几分之一。工程解法不是提高贴片精度，而是多贴几片：三个不同方向的读数联立，足够反解出完整的平面应变状态——这套装置叫应变花，常见直角式（0 度、45 度、90 度）与三角形（0 度、60 度、120 度）两种。

图：直角应变花的布置与莫尔圆重建

反解流程动手做

直角应变花的反解式：以 εA（0 度）、εB（45 度）、εC（90 度）表示，主应变由圆心加减半径给出，主方向角由 45 度片与两正交片的组合给出。取一次真实量级的实验记录：铝合金试件，三片读数分别 520、180、负 90 微应变，反解主应变并换算应力（E 等于 70 吉帕，ν 等于 0.33）。

# 直角应变花反解主应变，并换算主应力
import math

eA, eB, eC = 520e-6, 180e-6, -90e-6    # 0 / 45 / 90 度读数

avg = (eA + eC) / 2
R = math.hypot((eA - eC)/2, eB - avg)
e1, e2 = avg + R, avg - R
theta = 0.5 * math.degrees(math.atan2(2*eB - eA - eC, eA - eC))
print(f"主应变 e1 = {e1*1e6:.0f} 微应变，e2 = {e2*1e6:.0f} 微应变")
print(f"主方向 = {theta:.1f} 度（自 0 度片量起）")

# 平面应力换算主应力
E, nu = 70e9, 0.33
s1 = E * (e1 + nu * e2) / (1 - nu**2)
s2 = E * (e2 + nu * e1) / (1 - nu**2)
print(f"主应力 s1 = {s1/1e6:.1f} MPa，s2 = {s2/1e6:.1f} MPa")
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主应变 e1 = 532 微应变，e2 = -102 微应变
主方向 = 15.3 度（自 0 度片量起）
主应力 s1 = 37.7 MPa，s2 = -0.4 MPa
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判读这份记录：0 度片读 520 微应变已接近主应变真值 532——这次贴片运气不坏；90 度片读负值说明该方向受压，而主应力换算后 s2 几乎为零，提示测点接近单向拉伸状态。主方向 15.3 度是最有信息量的输出：若试件是受拉板，主方向应接近载荷方向，偏出十几度暗示附近有应力集中或载荷偏心——判读不止算数，还要追问原因。

极坐标：圆试件的母语

圆盘、圆环、厚壁筒、旋转轴，几何自带极对称，直角坐标的应变表达会"满页都是角度"，改用极坐标则清爽：径向线应变、环向线应变、径环剪应变，外加位移表达。最经典的演算是厚壁圆筒受内压（拉梅问题，第五章解析求解台的招牌菜）：环向应变沿壁厚分布，内壁最大、外壁最小。给一组可复算数值：内半径 50 毫米、外半径 100 毫米，内压 20 兆帕，钢制，算内壁的环向与径向应力并换算应变。

# 厚壁圆筒受内压：内壁应力与应变（拉梅解）
import math

a, b = 50e-3, 100e-3      # 内、外半径 m
p = 20e6                  # 内压 Pa
E, nu = 200e9, 0.3

K = (b/a)**2              # 直径比
# 内壁：径向应力 = -p，环向应力 = p*(K平方加1)/(K平方减1)
sr_in = -p
st_in = p * (K**2 + 1) / (K**2 - 1)
print(f"直径比 K2 = {K**2:.0f}")
print(f"内壁径向应力 = {sr_in/1e6:.1f} MPa，环向应力 = {st_in/1e6:.1f} MPa")

# 平面应力下内壁两向应变
e_t = (st_in - nu * sr_in) / E
e_r = (sr_in - nu * st_in) / E
print(f"内壁环向应变 = {e_t*1e6:.0f} 微应变，径向应变 = {e_r*1e6:.0f} 微应变")

# 外壁对比
st_out = p * 2 / (K**2 - 1)
print(f"外壁环向应力 = {st_out/1e6:.1f} MPa（内壁的 {st_out/st_in*100:.0f} %）")
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直径比 K2 = 4
内壁径向应力 = -20.0 MPa，环向应力 = 33.3 MPa
内壁环向应变 = 203 微应变，径向应变 = -133 微应变
外壁环向应力 = 13.3 MPa（内壁的 40 %）
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判读：环向应力内壁 33.3 兆帕、外壁 13.3 兆帕——应力沿壁厚衰减明显，内壁是危险点，应变片该贴内壁（工艺上做不到就按拉梅分布折算）。径向应变为负、环向为正，筒壁"被撑圆"的物理图像与数字完全一致。极坐标形式的价值：一个直径比就把整族解收进两行公式。

判读纪律

应变花判读总结成四步纪律。第一步核对读数合理性：三角形应变花三读数之和应守恒（与方向无关的组合），偏差过大先查贴片质量。第二步反解主应变与主方向，不许跳过方向直接看大小。第三步按平面应力或平面应变选对换算式。第四步拿主方向对照结构力学预期：偏差超过十几度，先怀疑载荷或约束，再怀疑计算。实验记录的判读从来是物理先行、数字殿后。

温度：读数里最常混进来的假账

应变片量的是栅丝与构件的共同变形，而电阻还随温度漂移——钢的线膨胀系数每度十二微应变，夏天日光直晒与阴凉处的读数差能到几十微应变，足以淹没真实的工作应变。标准对策是温度自补偿片或同材补偿片：一片贴试件、一片贴不受力的同材块上，两路相减把热输出对消。判读记录时留个心眼：若三枚读数同向同量漂移而莫尔圆圆心移动、半径不变，那是温度在动；圆心不动半径变，才是载荷在动。这一招在户外结构监测里几乎是救命技巧。

再补一条布片冗余的便宜账：直角应变花只有三枚读数恰好定解，没有任何多余信息；四片菊花应变花多一枚读数，可以互相验算，坏一片数据仍然可用。长期监测点一律用四片式——野外换片成本远高于片差几块钱。

本节要点回顾

• 主应变与主方向是变形的坐标系无关描述，判读必须同时给出两者。
• 应变花三片联立即可重建平面应变状态，直角式与三角形各有反解式。
• 主方向偏离结构预期是异常信号，往往指向载荷偏心或应力集中。
• 轴对称试件用极坐标应变表达，厚壁筒拉梅解是标准演算。
• 平面应力与平面应变的换算式不同，选错即系统性偏差。

几何侧工具就位。三件套齐了，下一章开始正式解方程：应力函数与能量原理。