7.2 欧拉临界载荷

7.2 欧拉临界载荷

本节摘要：欧拉公式给出弹性压杆的分岔载荷 P_cr 等于 π²EI 除以 L_cr 平方，四个量里杆件只能改 I 与 L_cr。本节以一根钢管为试件，演算柔度判别、四种支承对比与中柔度抛物线修正，并坐实一条反直觉判读：细长杆换高强度钢几乎无益。

公式里的四个量，各管一摊

7.1 节的最小模型说了道理，本节给工程压杆定量。欧拉临界载荷 P_cr 等于 π²EI 除以 L_cr 平方，写成应力形式 σ_cr 等于 π²E 除以 λ 平方，其中 λ 等于 L_cr 除以 i 是柔度，i 等于根号下 I 除以 A 是回转半径。四个量的分工清清楚楚：π² 与 E 是材料的弹性脾气，I 与 i 是截面把材料放多远的成绩，L_cr 是支承条件折算出的计算长度。注意清单里没有屈服强度——弹性失稳不关心材料有多硬，只关心它有多"挺"。这条缺席后面要反复兑现。

计算长度 L_cr 等于 K 乘几何长度，K 是支承系数：两端铰接取一，一端固定一端自由取二，两端固定取零点五，一端固定一端铰接取零点七。支承条件直接乘在杆长上，是设计里最便宜的临界载荷杠杆。

图：四种支承的屈曲形态与长度系数

完整判读：一根钢管的四张支承记录

试件：脚手架常用的钢管，外径一百一十四毫米、壁厚四毫米，几何长度四米，屈服强度三百四十五兆帕、E 取两百吉帕。截面性质先算清：面积一千三百八十二平方毫米，惯性矩二点零九三乘十的负六次方米四次方（单位毫米制下二点零九乘十的六次方），回转半径三十八点九毫米。然后对四种支承各记一张表，欧拉与抛物线修正自动判别选用。

# 钢管压杆：四种支承的临界载荷（欧拉 + 约翰逊抛物线判别）
import math

D, t, L = 0.114, 0.004, 4.0        # 外径 m，壁厚 m，长度 m
E, fy = 200e9, 345e6

A  = math.pi/4*(D**2 - (D-2*t)**2)
I  = math.pi/64*(D**4 - (D-2*t)**4)
i  = math.sqrt(I/A)
lam_p = math.pi*math.sqrt(E/fy)     # 欧拉适用柔度上限
print(f"A = {A*1e6:.1f} mm2  I = {I*1e12:.3e} mm4  i = {i*1e3:.2f} mm")
print(f"欧拉适用下限 λp = {lam_p:.1f}\n")

def sigma_cr(lam):
    if lam >= lam_p:                # 细长：欧拉
        return math.pi**2 * E / lam**2, "欧拉"
    # 中低柔度：约翰逊抛物线
    return fy*(1 - fy*lam**2/(4*math.pi**2*E)), "抛物线"

print("支承        K    λ    σ_cr MPa  模式    P_cr kN")
for name, K in (("两端铰接",1.0), ("固定-铰接",0.7), ("两端固定",0.5), ("悬臂",2.0)):
    lam = K*L/i*1000
    s, mode = sigma_cr(lam)
    print(f"{name:6s}   {K:.1f}  {lam:5.1f}   {s/1e6:7.1f}   {mode}   {s*A/1e3:7.1f}")
​

A = 1382.3 mm2  I = 2.093e+06 mm4  i = 38.92 mm
欧拉适用下限 λp = 75.6

支承        K    λ    σ_cr MPa  模式    P_cr kN
两端铰接   1.0  102.8     186.8   欧拉     258.3
固定-铰接   0.7   71.9     266.9   抛物线   369.0
两端固定   0.5   51.4     305.2   抛物线   421.8
悬臂   2.0  205.6      46.7   欧拉      64.6
​

判读四张记录：悬臂与两端固定差出六倍多——同样的钢、同样的截面，钱全花在端部约束上。铰接杆处于欧拉区（柔度一百零三点八大七十五点六），加约束后柔度跌破门槛，抛物线顶上，临界应力抬到三百零五兆帕也只到屈服的八成九：约束再强，最终撞上强度天花板。这正是失稳与强度的分界画像——细长杆比刚度，短粗杆比强度，中段两者缠斗。

换钢材有用吗：一条反直觉的判读

现场常有提议：压杆不稳，换更好的钢。用刚才的铰接钢管验一遍：把屈服强度从二百三十五提到四百六十兆帕，E 几乎不动，欧拉临界应力一个字不改——一百八十六点八兆帕照旧，因为欧拉公式里根本没有 fy。只有当杆件短粗到抛物线区，临界应力才随屈服强度上抬。定量判据就是柔度与门槛值 λp 的比较：λ 大于 λp 的杆，换钢无效；λ 小于 λp 的杆，换钢按比例见效。这道分界让"压杆选材"变成一眼可判的题。

# 换钢判别：同一根铰接杆，三种钢材
lam = 102.8                      # 铰接四米杆的柔度
lam_p = lambda fy: math.pi*math.sqrt(200e9/fy)
for tag, fy in (("Q235", 235e6), ("Q345", 345e6), ("Q460", 460e6)):
    if lam >= lam_p(fy):
        s = math.pi**2*200e9/lam**2
        note = "欧拉区，换钢无效"
    else:
        s = fy*(1 - fy*lam**2/(4*math.pi**2*200e9))
        note = "抛物线区，随钢号抬升"
    print(f"{tag}: λp = {lam_p(fy):5.1f}，σ_cr = {s/1e6:6.1f} MPa，{note}")
​

Q235: λp =  91.7，σ_cr =  186.8 MPa，欧拉区，换钢无效
Q345: λp =  75.6，σ_cr =  186.8 MPa，欧拉区，换钢无效
Q460: λp =  65.5，σ_cr =  186.8 MPa，欧拉区，换钢无效
​

判读：柔度一百零三点八在三种钢材下都越过各自的欧拉门槛，临界应力纹丝不动——一百八十六点八兆帕是这根杆的"弹性宿命"。要救它只有两条路：把计算长度砍下来（加一道缀板、加一个中间支点，K 或 L 降多少临界涨多少），或者把材料往外圈挪（换更大外径或方管，i 抬升柔度下降）。三条对策按性价比排序：约束最便宜，截面次之，钢材最贵且常常无效。压杆设计的判读重心，从头到尾都在"挺"而不在"硬"。

顺带一个校核动作：换大一号钢管（外径一百四十、壁厚四毫米），回转半径升到四十八毫米上下，柔度降到八十三——仍在欧拉区，临界应力按平方反比直接抬到约二百八十六兆帕，载荷容量接近翻倍，而重量只涨两成多。i 的红利比直径直观，这是截面选型时"先比 i 再比 A"的原因。

本节要点回顾

• 欧拉公式 P_cr 等于 π²EI 除以 L_cr 平方：材料只看 E，截面看 I，支承看 L_cr。
• 柔度 λ 等于 L_cr 除以 i，是判断欧拉公式适用性的唯一刻度，门槛 λp 等于 π 乘根号下 E 比 fy。
• 中低柔度杆用约翰逊抛物线衔接欧拉与屈服，同一根杆两种模式自动切换。
• 端部约束是杠杆：从铰接加到固定，临界载荷可翻六倍。
• 细长杆换高强度钢无效：欧拉公式里没有屈服强度。

规整压杆有了全套刻度。但真实构件带缺陷、带后屈曲富余——下一节把这些折扣算清。