8.4 疲劳：S-N曲线与累积损伤
8.4 疲劳：S-N曲线与累积损伤
本节摘要：疲劳是反复载荷下的慢性记账：无裂纹件用 S-N 曲线与 Miner 法则累积损伤，已裂件用 Paris 公式算扩展速率。本节完成一份起重机载荷谱的损伤账本与一条裂纹的扩展寿命积分，判读"低于疲劳极限不记损伤"与"检测周期倒排"两条核心规则。
远低于屈服的慢性断裂
疲劳的记录单开篇总是反直觉：构件在屈服强度一半的应力下反复千万次，某天突然断成两截，断口上找不到明显塑性变形。金相揭底：裂纹在表面缺陷、焊缝咬边、夹杂物处缓慢萌生，每循环前进一步，最后静断区只占断口一小角。全章框架在此收拢——8.2 节的 K 与 8.3 节的 J 管"一次加载裂到临界会怎样"，疲劳管"从无到有、从短到长需要多少次"。两套账本衔接处正是 Paris 公式：裂纹一旦可检，账本从萌生切换到扩展。
疲劳设计分两段作业。光滑构件或尚无裂纹时，用 S-N 曲线：应力幅对失效循环数的实验曲线，钢材在长寿命端趋于水平段（疲劳极限，约强度极限四到五成），低于它的应力幅理论上不记损伤。已有可检裂纹时，用 Paris 公式 da/dN 等于 C 乘 ΔK 的 m 次幂，把裂纹从可检尺寸长到临界尺寸的循环数积分出来。
图：S-N 曲线、载荷谱分块与 Miner 累积标尺
账本一：载荷谱下的 Miner 损伤
试件是一根起重机吊杆的年度载荷谱，归并成三个应力幅档位：三百五十兆帕作用五万次、三百兆帕二十万次、二百五十兆帕一百万次，合成"一个作业块"。S-N 基线用幂函数拟合 N 等于六点八乘十的十五次方乘 σ 的负三点六次幂（结构钢对数直线段的常见斜率三点到四点）。逐档记损伤分项 n 比 N，线性求和得单块损伤 D，寿命就是 D 凑满一需要的块数。
# Miner 线性累积损伤：一个作业块的账本 spectrum = [ # (应力幅 MPa，每块循环数) (350, 50_000), (300, 200_000), (250, 1_000_000), ] def N_of(s): # S-N 基线：N = 6.8e15 乘 s 的 -3.6 次幂 return 6.8e15 * s**-3.6 D = 0.0 print("应力幅 MPa 循环数 许用 N 损伤分项") for s, n in spectrum: Ni = N_of(s) D += n/Ni print(f"{s:7d} {n:9,d} {Ni:9.2e} {n/Ni:6.3f}") print(f"单块损伤 D = {D:.3f}，可承受作业块数 = {1/D:.1f}")
应力幅 MPa 循环数 许用 N 损伤分项 350 50,000 4.72e+06 0.011 300 200,000 8.22e+06 0.024 250 1,000,000 1.58e+07 0.063 单块损伤 D = 0.098，可承受作业块数 = 10.2
判读这份账本：最高档只贡献损伤的十分之一，最"温和"的二百五十兆帕档反而贡献近三分之二——循环数也是杠杆，损伤由应力与次数的乘积决定。判读启示有两条：减载时优先削高幅档没错，但削次数（作业制度）同样见效；反过来看，一台起重机"少吊重、多吊轻"的用法并不能豁免疲劳，轻载档靠次数照样把账记满。另外记账前要过滤：低于疲劳极限的应力幅本应剔除，本例三档都在水平段之上，账目有效。Miner 法则是线性近似，实测显示顺序效应（先重后轻比先轻后重更伤）能让真实寿命偏离预算正负几倍，所以重要结构的账本要配安全系数与定期复检。
账本二：Paris 积分排检测周期
已检出一裂纹：平板构件，应力循环幅一百二十兆帕，几何修正系数一点一二，裂纹从可检门槛两毫米起算，材料 Paris 参数 C 等于六点九乘十的负十二次方、m 等于三（兆帕根号米制）。临界尺寸取十五毫米（由 K_IC 对账反推，8.2 节同款演算）。对 Paris 公式做数值积分，寿命乘安全系数三倒排检测周期。
# Paris 公式数值积分：2 mm 长到 15 mm 的循环数 import math Y, d_sigma = 1.12, 120.0 # 几何系数，应力循环幅 MPa C, m = 6.9e-12, 3.0 # Paris 参数（MPa√m 制，m/cycle） a0, ac = 0.002, 0.015 N, steps, da = 0.0, 50, (0.015-0.002)/50 for i in range(steps): a = a0 + (i + 0.5)*da # 中点取值，误差可控 dK = Y*d_sigma*math.sqrt(math.pi*a) N += da/(C*dK**m) # dadN = C 乘 ΔK 的 m 次幂 print(f"ΔK 起点 = {Y*d_sigma*math.sqrt(math.pi*a0):5.1f} MPa√m，" f"终点 = {Y*d_sigma*math.sqrt(math.pi*ac):5.1f} MPa√m") print(f"积分寿命 N = {N:.2e} 次循环") print(f"检测周期 ≤ N/3 = {N/3:.2e} 次循环")
ΔK 起点 = 10.7 MPa√m，终点 = 29.2 MPa√m 积分寿命 N = 3.04e+05 次循环 检测周期 ≤ N/3 = 1.01e+05 次循环
判读这份扩展记录：裂纹从两毫米长到十五毫米，寿命约三十万次，安全系数三后检测周期十万次——检测计划不是拍的，是积分倒排的。ΔK 起终点都在 Paris 区（门槛之下裂纹不扩展，接近 K_IC 时加速失稳），积分有效。把两条账本合上：Miner 管萌生段，Paris 管扩展段，寿命预算在"可检尺寸"处交接，交接点的定义（探伤灵敏度为多少毫米）直接改变两本账的份额——这是疲劳管理里最需要工程判断的一处接缝。
S-N 曲线的隐藏条款：表面与尺寸
同牌号钢材的 S-N 数据带会散布两倍上下，散布源主要在两条隐藏条款。其一是表面状态：抛光试件、轧制表面、锻造黑皮、腐蚀坑，疲劳强度能差出两到三成——吊杆的疲劳薄弱点几乎总在焊缝咬边与腐蚀坑，而不是母材。其二是尺寸效应：大截面试件疲劳强度偏低，因为表面萌生后裂纹要走更长的路才到"临界"，统计学上大件更容易撞上大缺陷。规范用表面系数与尺寸系数修正 S-N 基线：磨削加一成、粗车减一成量级。判读疲劳事故时，这两条是"为什么实测寿命远短于手册"的第一嫌疑人——手册曲线属于磨光小试件，现场构件两样都不占。
本节要点回顾
- 疲劳断裂发生在远低于屈服的应力下，断口以裂纹缓慢扩展为主、静断区只占一角。
- S-N 曲线长寿命端有疲劳极限水平段，低于它的应力幅不参与损伤记账。
- Miner 法则线性累加损伤分项：次数与应力同权重，轻载档靠循环数照样记满账。
- Paris 公式 da/dN 等于 C 乘 ΔK 的 m 次幂，积分给出可检到临界的扩展寿命。
- 检测周期由扩展寿命除以安全系数倒排，萌生与扩展两本账在可检尺寸处交接。
慢性破坏结案。下一章把全册工具送进综合试验与数值台，收束全册。