1.2 有理数与实数：对角线量不出来的数

1.2 有理数与实数：对角线量不出来的数

有理数是能写成两个整数之比 p/q 的数，实数再补上不能这样写的无理数，填满整条数轴。本节的主角是根号 2：一个边长为 1 的正方形，对角线长是根号 2——它存在、可以画出来，却永远写不成分数。我们手工证明这一点，再让程序展示分数逼近的极限过程。承接上节的除法缺口，通往第六章的极限概念。

一块量不出来的地

毕达哥拉斯学派信奉"万物皆数"，这里的数指整数及其比。传说门徒希帕索斯发现：单位正方形的对角线与边之比不是任何两个整数之比。勾股定理给出对角线长的平方等于 1 平方加 1 平方等于 2，所以对角线长是"平方等于 2 的数"。问题来了：有没有分数，它的平方恰好是 2？

试一试很自然：7/5 的平方是 49/25 = 1.96，小了；17/12 的平方是 289/144 ≈ 2.0069，大了；再往细找，41/29 的平方 ≈ 1.9988……分数可以无限逼近 2，但逼近和恰好等于是两回事。

手工证明：根号 2 不是分数

反证法，全程只用整数的基本性质：

第一步，假设根号 2 = p/q，其中 p、q 是互素的整数（既约分数，分子分母已约到最简）。

第二步，两边平方：p 的平方比 q 的平方等于 2，即 p 平方 = 2 倍 q 平方。所以 p 的平方是偶数。

第三步，奇数的平方是奇数（2k+1 的平方 = 4k 平方 + 4k + 1，确实是奇数），所以 p 本身是偶数。记 p = 2r。

第四步，代回去：(2r) 平方 = 2 倍 q 平方，化简得 2 倍 r 平方 = q 平方。同理 q 也是偶数。

第五步，p、q 都是偶数，与"互素"矛盾。假设崩塌，根号 2 不是分数。证毕。

这个证明两千多年没变过样，是反证法的教科书范本。注意第三步的关键引理"奇数平方是奇数"——它依赖整数的离散结构，这正是上一节强调良序性的用武之地。

>>> from sympy import Rational, sqrt, nsimplify
>>> # 验证几个近似分数的平方，都只是靠近 2 而不等于 2
>>> for p, q in [(7,5), (17,12), (41,29), (99,70)]:
...     print(p, q, (Rational(p,q)**2), float(Rational(p,q)**2 - 2))
7 5 49/25 -0.040000000000000036
17 12 289/144 0.006944444444442867
41 29 1681/841 -0.0011890606420910395
99 70 9801/4900 0.00020408163265309936
​

误差一路缩小到万分之二，但每一次都不是零——与证明的结论严丝合缝。

>>> from sympy import sqrt
>>> sqrt(2)
sqrt(2)          # SymPy 保持精确符号，不化成小数
>>> sqrt(2).evalf(30)
1.41421356237309504880168872421
​

SymPy 干脆不给小数，除非你明确要求——精确数学的态度。

有理数的性质与稠密性

有理数的四则运算（除数非零）全部封闭，且在数轴上稠密：任何两个不相等的有理数之间还有第三个（取中点即可），从而有无穷多个。稠密带来一个错觉：有理数好像铺满了数轴。实际上有理数在数轴上布满了"洞"——根号 2 就掉在洞里。更惊人的是，用对角线法可以证明：无理数比有理数"多得多"，有理数能排队编号，实数永远排不完。

实数：把洞填上

把所有有理数的"洞"补齐得到的完备数系就是实数。补洞的严格办法（戴德金分割或柯西数列）超出本册范围，但它的功能可以用一句话说清：在有理数里，递增有界的数列可以没有极限；在实数里它一定有。上一节那串 7/5、17/12、41/29……递增有界，它的极限正是根号 2——实数保证这个极限存在。

>>> from sympy import Rational
>>> # 用中点法在有理数之间继续插值：稠密性的程序演示
>>> a, b = Rational(1,4), Rational(1,2)
>>> for _ in range(3):
...     m = (a + b)/2
...     print(m)
...     a = m
3/8
7/16
15/32
​

每次取中点都落在前两个之间，这样的插入永远做不完——稠密，但不保证碰到无理点，那些点是后来"补"进去的。

⚠️ 常见坑：把"无限不循环小数"当成无理数的定义来记没问题，但别把 3.14159（有限小数）当成圆周率——有限位写的永远是有理数，无理数只能用符号或无限过程指称。

分数逼近根号2的收敛过程

判断一个小数是不是有理数

有限小数（如 0.125 = 125/1000 = 1/8）是有理数；无限循环小数也是有理数——0.3 循环 = 1/3 是最简单的例子，任何循环小数都能用"乘十的幂再相减"还原成分数：设 x = 0.2727 循环，100x = 27.2727 循环，相减得 99x = 27，x = 27/99 = 3/11。反过来，无限不循环就意味着无理数。判断口诀只需一句：看小数展开是否最终进入循环。

常见问题

问：无理数多还是有理数多？
答：不在一个量级。有理数可数（能排成一队编号），实数不可数（康托尔对角线证明），因此无理数不可数——数轴上"绝大多数"点是无理数。

问：根号 2 加根号 3 是无理数吗？
答：是。反证：若它是有理数 r，则 r 减根号 2 等于根号 3，两边平方整理会逼出根号 2 是有理数，矛盾。

本节要点回顾

• 根号 2 无理性的反证法五步走：假设既约分数、平方、奇偶分析、代换、矛盾；
• 有理数四则封闭且稠密，但不完备：递增有界的逼近串可以没有有理极限；
• 实数 = 有理数 + 无理数，功能是填满数轴，保证极限存在；
• 有限小数写出的永远是有理数，无理数只能以符号或无限过程指称；
• "逼近"与"等于"的区别是第六章极限概念的种子。

下一节继续追问：根号负一呢？负数开方把数轴本身都撑破了，出路在平面上。