3.4 向量：方向加长度的计算术
3.4 向量：方向加长度的计算术
向量是同时具有大小与方向的量，坐标表示为数对或三元组。本节用向量重做本章所有计算：加法是位移叠加、点积算夹角、叉积算面积。贯穿案例的梯形在向量语言里两行算完——它是"四种丈量法"的收官工具，也是物理学与线性代数的通用语言。
位移比位置更本质
从 A 走到 B，位置变了，但真正描述这次移动的是位移：往右 3、往上 4——一个既有大小（5）又有方向（东北偏北）的量。这就是向量。位置（点）依赖坐标系的选取，位移（向量）不依赖——向量抓住的是几何中"不随坐标变换改变"的本质。
向量 AB = 终点坐标减起点坐标。贯穿案例中：AB 向量 = (6,0) - (0,0) = (6, 0)；DC 向量 = (5,3) - (1,3) = (4, 0)；AD 向量 = (1,3)；BC 向量 = (5,3) - (6,0) = (-1, 3)。
判平行：AB 与 DC 都指向正横方向，向量成比例（(6,0) = 1.5 × (4,0)），两底平行——3.2 的斜率判定在向量语言里就是"成比例"。
模长：根号下各分量平方和。AD 模长 = 根号(1+9) = 根号 10；BC 模长 = 根号(1+9) = 根号 10。两腰等长，等腰梯形判定两行完成。
>>> from sympy import Matrix, sqrt, acos, deg, pi >>> AD = Matrix([1, 3]); BC = Matrix([-1, 3]) >>> AD.norm(), BC.norm() # 两腰模长 (sqrt(10), sqrt(10))
加法与数乘：三角形法则
向量加法 = 位移叠加：先走 (1,3) 再走 (4,0)，总位移 (5,3)——首尾相接，和从起点指向终点。数乘 = 同方向伸缩：2 × (1,3) = (2,6)，长度翻倍方向不变；负号反向。
由加法直接得到中点公式的向量版：AD 中点 = A 加上半个 AD 向量 = (0,0) + 0.5(1,3) = (0.5, 1.5)，与 3.2 一致。
点积：算夹角的钥匙
两向量点积 = 对应分量乘积之和。几何意义：a 点乘 b = 模 a × 模 b × cos 夹角。夹角余弦因此可解：cos θ = (a·b)/(|a||b|)。
手算贯穿案例中两腰的夹角。注意 AD 从 A 出发、BC 从 B 出发，求"两腰延长线的夹角"取 AD = (1,3) 与 CB（与 BC 反向）= (1,-3)：点积 = 1×1 + 3×(-3) = -8；模长各为根号 10，cos θ = -8/10 = -0.8，θ ≈ 143.13 度。两腰的锐夹角是它的补角 ≈ 36.87 度。
>>> from sympy import Matrix, acos, deg >>> u, v = Matrix([1, 3]), Matrix([1, -3]) >>> cos_t = (u.dot(v))/(u.norm()*v.norm()) >>> cos_t -4/5 >>> float(deg(acos(cos_t))) 143.13010235415598
cos 值精确为 -4/5，角度 143.13 度——3.2 用斜率 3 与 -3 算出的同一个角，向量法一行抵达。
垂直的判据：点积为零。u = (1,3) 与 w = (3,-1)：点积 = 3 - 3 = 0，垂直。3.2 的"斜率乘积 -1"在向量语言里统一为"点积为零"（且不再有竖直线的例外）。
叉积：面积与法向
二维向量没有真正的叉积，但可以算行列式值：u=(a,b)、v=(c,d) 的行列式 = ad - bc，绝对值 = 两向量张成的平行四边形面积。手算 AB 与 AD 张成的平行四边形：det = 6×3 - 0×1 = 18。三角形 ABD 的面积是它的一半 = 9。梯形面积可用两个三角形拼出：三角形 ABD（9）+ 三角形 BCD。
手算三角形 BCD：从 B 出发的两个向量 BC = (-1,3)、BD = D - B = (-5,3)，det = (-1)×3 - 3×(-5) = -3 + 15 = 12，面积 = 6。总面 积 = 9 + 6 = 15——与 3.2 的三种办法第四次吻合。
>>> from sympy import Matrix, Abs >>> AB, AD2 = Matrix([6, 0]), Matrix([1, 3]) >>> BC2, BD = Matrix([-1, 3]), Matrix([-5, 3]) >>> def det2(u, v): return u[0]*v[1] - u[1]*v[0] >>> Abs(det2(AB, AD2))/2 # 三角形 ABD 9 >>> Abs(det2(BC2, BD))/2 # 三角形 BCD 6 >>> Abs(det2(AB, AD2))/2 + Abs(det2(BC2, BD))/2 15
三维叉积 u × v 产生垂直于两者的新向量，模长等于平行四边形面积——物理里力矩、磁力全靠它。
💡 关键直觉：点积管"角度"（零即垂直），叉积管"面积"（零即平行）。一个向内收，一个向外张。
三种方法算同一块面积的对照
向量的分解与坐标本质
平面上任何向量都能拆成两个不共线方向的叠加：取横轴单位向量与纵轴单位向量，v = a 倍横单位 + b 倍纵单位——(a, b) 就是坐标。换一组基底，坐标就变，向量本身不变；点积、行列式这些运算的结果不随基底换而变，这是向量法"坐标无关"优势的技术细节。物理学把力分解为斜面的沿面与垂直分量，用的正是这套分解术。
>>> from sympy import Matrix, sqrt, Rational >>> along = Matrix([sqrt(3)/2, Rational(1,2)]) # 30 度斜面方向 >>> F = Matrix([10, 0]) >>> float(F.dot(along)) 8.660254037844387
10 牛的水平力压在 30 度斜面上：沿面分量 8.66 牛（压向面的法向分量 5 牛）——点积两行完成三角学教材的整页推导。
常见问题
问：点积为什么能算角度？
答：它是把"夹角信息"压缩进一个数的装置。由定义反解出余弦，角度就有了——第三章向量与第四章三角函数在点积公式里会师。
本节要点回顾
- 向量 = 终点减起点；模长为分量平方和的根；平行 = 成比例；
- 加法是位移叠加（三角形法则），中点公式是它的副产品；
- 点积 = 模模夹角余弦，为零即垂直，替代斜率法且无例外情形；
- 二维"叉积"= 行列式 ad - bc，绝对值为平行四边形面积，为零即平行；
- 贯穿案例四法同证面积 15，向量法还顺手给出两腰夹角 143.13 度。
几何篇结束。下一章的测量任务只剩一块短板：只知角度与一条边，如何求出其他边——三角学登场。