4.2 三角函数定义与关系：角定则比定

4.2 三角函数定义与关系：角定则比定

三角函数把角映射为边长比：正弦、余弦、正切及其三个倒数。本节从直角三角形定义出发，升级到单位圆定义，推导同角关系与诱导公式，并用正弦定理解出测塔任务的检验值。它是第四章的心脏，也是全册"角与边互相换算"的规则手册。

相似三角形送给我们的礼物

直角三角形里，一旦锐角 θ 确定，三角形的形状就定了（相似判定 AA：直角 + θ 用掉了两个角）。形状定了，任何两边之比也就定了——不管三角形是火柴盒大小还是山头大小。这是三角学的根基事实：角唯一决定边比。把三个基本比命名：

• 正弦 sin θ = 对边 ÷ 斜边；
• 余弦 cos θ = 邻边 ÷ 斜边；
• 正切 tan θ = 对边 ÷ 邻边。

再加三个倒数：余割、正割、余切。勾股定理立刻给出最重要的同角关系：sin 平方 θ + cos 平方 θ = 1（对边平方加邻边平方 = 斜边平方，两边同除斜边平方）。

特殊角手算表：45 度直角三角形两直角边相等，设为 1，斜边根号 2，sin 45 = cos 45 = 根号2/2，tan 45 = 1。30-60-90 三角形（斜边 2、短直角边 1、长直角边根号 3）：sin 30 = 1/2，cos 30 = 根号3/2，tan 30 = 根号3/3。

>>> from sympy import sin, cos, tan, sqrt, pi, simplify
>>> [simplify(sin(x)) for x in (pi/6, pi/4, pi/3)]
[1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2]
>>> [simplify(tan(x)) for x in (pi/6, pi/4, pi/3)]
[sqrt(3)/3, 1, sqrt(3)]
>>> simplify(sin(pi/4)**2 + cos(pi/4)**2)
1
​

三行验证：特殊角值与勾股恒等式全部精确成立。

升级到单位圆：任意角的定义

直角三角形定义管不了钝角和负角。换单位圆：角 θ 的终边与单位圆交于点 (x, y)，则 cos θ = x，sin θ = y。锐角时终边在第一象限，交点坐标恰与三角形比一致（斜边 = 半径 1，邻边 = 横坐标，对边 = 纵坐标）；钝角、负角、超一圈的角统一被这套定义接管。终边相同的角函数值相同——周期性的来源就在这里。

从坐标定义顺手读出符号规律："ASTC"（全正、正弦、正切、余弦）：第一象限全正，第二只有正弦正，第三只有正切正，第四只有余弦正。

诱导公式（把任意角化归为锐角）最值得记的两组：

• sin(π − θ) = sin θ，cos(π − θ) = −cos θ（第二象限）；
• sin(−θ) = −sin θ，cos(−θ) = cos θ（奇偶性：正弦是奇函数、余弦是偶函数）。

手推第二组：角 -θ 的终边与 θ 关于横轴镜像，交点坐标从 (x, y) 变 (x, -y)，按定义正弦变号、余弦不变。

>>> from sympy import sin, cos, pi, symbols, simplify, trigsimp
>>> t = symbols('t', real=True)
>>> trigsimp(sin(t)**2 + cos(t)**2)         # 勾股恒等式
1
>>> simplify(sin(-t) + sin(t))
0
>>> trigsimp(sin(pi/2 - t) - cos(t))        # 余角公式
0
​

正弦定理与余弦定理：解三角形的两把扳手

任意三角形（不只直角）的边角换算靠两条定理：

• 正弦定理：a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R（R 为外接圆半径）；
• 余弦定理：a 平方 = b 平方 + c 平方 − 2bc·cos A（勾股定理的推广，夹角 90 度时退化为勾股）。

手推正弦定理的面积法：三角形面积 = (1/2)ab·sin C = (1/2)bc·sin A = (1/2)ca·sin B，三式各除以 (1/2)abc 即得。

测塔任务的检验：换个法子测——不量仰角，改为在塔正对面取两点 A、B 相距 20 米，在 A 测得塔顶仰角 35 度、在 B 测得 28 度。塔高 h 满足：水平距离 xA = h/tan35，xB = h/tan28，且 xA − xB = 20。解出 h = 20 ÷ (1/tan28 − 1/tan35)。

>>> import math
>>> h = 20 / (1/math.tan(math.radians(28)) - 1/math.tan(math.radians(35)))
>>> h
25.470976846537034
​

双站法给出 25.47 米，与 4.1 单站法的 25.17 米相差 0.3 米（约 1.2%）——两种独立方法交叉验证，误差量级正是量角器精度所能解释的。工程测量正是靠这种冗余压制误差。

💡 关键直觉：三角函数是"形状的价格表"——知道角度就能查到边比，知道边比就能反查角度。反查（arcsin、arccos、arctan）在下一节图像部分正式出场。

用余弦定理解三角形全流程

已知两边 b = 7、c = 8 与夹角 A = 60 度，求第三边与其余角。余弦定理：a 平方 = 49 + 64 − 2×7×8×cos60 = 113 − 56 = 57，a = 根号 57 ≈ 7.55。再用正弦定理求角 B：sin B = 7×sin60 ÷ 根号57 ≈ 0.803，B ≈ 53.4 度；角 C = 180 − 60 − 53.4 = 66.6 度。三边三角到账——"两边夹一角"是余弦定理主场，"两角一边"是正弦定理主场，选对工具省一半力气。

>>> import math
>>> a = math.sqrt(49 + 64 - 2*7*8*math.cos(math.radians(60)))
>>> B = math.degrees(math.asin(7*math.sin(math.radians(60))/a))
>>> round(a, 4), round(B, 2), round(180 - 60 - B, 2)
(7.5498, 53.4, 66.6)
​

常见问题

问：正弦定理算角为什么可能两解？
答：sin B 的值对应 B 与 180−B 两个候选（正弦在第一、二象限同值）。"两边与其中一边的对角"（SSA）时两解都可能合法，要画图排查——与全等判定的 SSA 缺陷同根同源。

本节要点回顾

• 角定则比定的根源是相似三角形（AA 判定）；
• 单位圆定义（cos 为横坐标、sin 为纵坐标）把任意角纳入管辖，并解释周期与符号规律 ASTC；
• 勾股恒等式 sin 平方 + cos 平方 = 1 可由定义直接推出；
• 诱导公式两组核心：π−θ 与 −θ，记忆锚点是终边的镜像关系；
• 正弦定理、余弦定理解任意三角形；双站测塔交叉验证给出 25.5 米量级。

定义有了，下一节把这些函数画出来——曲线一现形，周期、振幅、相移一目了然。