4.4 三角恒等变换：化简的钥匙串

4.4 三角恒等变换：化简的钥匙串

三角恒等式是处处成立的三角等式：和角、倍角、半角、辅助角四大类。本节手工推导两角差余弦公式（其余公式全是它的后代），演练化简的标准流程，并用辅助角公式完成一个来自测量数据合成的实战案例。第四章收官之节。

一切从两角差的余弦开始

单位圆上取角 A 与角 B，它们的终边交圆于 P 与 Q。用余弦定理算弦 PQ 的平方（半径为 1）：按角坐标定义，P = (cos A, sin A)、Q = (cos B, sin B)，距离平方 = (cos A − cos B) 平方 + (sin A − sin B) 平方。另一方面，PQ 所对圆心角是 A − B，余弦定理给出 PQ 平方 = 1 + 1 − 2cos(A − B)。两式相等，展开左边、用勾股恒等式收拾干净，得：

cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

这个公式是整串钥匙的母钥匙。和角公式由它换符号得到：cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B；正弦版本用余角转换：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B。

倍角公式是和角公式的特例（A = B）：

• sin 2A = 2 sin A cos A；
• cos 2A = cos 平方 A − sin 平方 A = 1 − 2 sin 平方 A = 2 cos 平方 A − 1（三种形态，勾股恒等式切换）；
• tan 2A = 2 tan A ÷ (1 − tan 平方 A)。

降幂公式由倍角反解：sin 平方 A = (1 − cos 2A)/2。它把二次式降到一次，是积分表的常客（第六章会回来用它）。

>>> from sympy import symbols, sin, cos, expand, trigsimp, pi
>>> A, B = symbols('A B', real=True)
>>> # 验证正弦和角公式：给一组具体角
>>> a, b = pi/6, pi/4
>>> lhs = sin(a + b)
>>> rhs = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)
>>> trigsimp(lhs - rhs)
0
>>> # 倍角公式验证
>>> trigsimp(sin(2*a) - 2*sin(a)*cos(a))
0
​

两处差都精确为 0——公式在符号层面成立，不是数值巧合。

化简的标准动作

例题：化简 sin x cos x cos 2x。看到 sin x cos x，条件反射用倍角：sin x cos x = sin 2x ÷ 2。原式 = (sin 2x ÷ 2) × cos 2x = (sin 4x) ÷ 4——又一层倍角。三步收工，答案是 sin 4x ÷ 4。

例题：化简 (cos 平方 x − sin 平方 x) ÷ (cos x − sin x)。分子是 cos 2x，但路径更好的是因式分解（平方差）：(cos x + sin x)(cos x − sin x) ÷ (cos x − sin x) = cos x + sin x（附条件 cos x ≠ sin x）。先分解后套公式往往是近路——2.1 的因式分解在三角里同样好用。

>>> from sympy import trigsimp, symbols, sin, cos
>>> x = symbols('x', real=True)
>>> trigsimp((cos(x)**2 - sin(x)**2)/(cos(x) - sin(x)))
sin(x) + cos(x)
​

SymPy 与手算一致。

辅助角公式：两个波合成一个波

a sin x + b cos x = 根号(a 平方 + b 平方) × sin(x + φ)，其中 tan φ = b ÷ a。几何直觉：正弦与余弦是同一频率的两个波，叠加后仍是这个频率的波，只是振幅变大、相位偏移——振幅恰是向量 (a, b) 的模长（第三章的向量又一次客串）。

手算 3 sin x + 4 sin x 的兄弟式 3 sin x + 4 cos x：振幅 = 根号(9+16) = 5，tan φ = 4/3，φ = arctan(4/3) ≈ 53.13 度。结果：5 sin(x + 53.13 度)。

>>> import math
>>> r = math.hypot(3, 4)                 # 振幅 = 向量模长
>>> phi = math.degrees(math.atan2(4, 3))  # 相位
>>> r, round(phi, 2)
(5.0, 53.13)
>>> # 验证：任取 x，两种写法应相等
>>> x = math.radians(20)
>>> round(3*math.sin(x) + 4*math.cos(x), 10) == round(5*math.sin(x + math.atan2(4,3)), 10)
True
​

任意 x 处两种写法吻合（浮点层面十位小数一致）。

实战：两台仪器数据的合成

测塔任务收官案例。两台测距仪同时记录塔顶轻微晃动：一台读到分量 3 sin t（单位厘米），另一台读到 4 cos t。总晃动 = 3 sin t + 4 cos t = 5 sin(t + 53.13 度)——峰值晃动 5 厘米，出现时刻由相位 53.13 度给出。没有辅助角公式，"峰值多少"需要逐点求值；有了它，一行读出。工程里电机振动、双声道音频合成全是这套运算。

⚠️ 常见坑：恒等式 tan φ = b/a 在 a 为负时会指错象限，程序里用双参数的 atan2(b, a) 一步到位；手算时以 a、b 的符号确定 φ 所在象限。

公式族谱：一个母公式长出整棵树

恒等式与方程：一道经典辨析

sin x 等于 cos x 是方程（只在特定 x 成立，解是 π/4 加 kπ）；sin 平方 x 加 cos 平方 x 等于 1 是恒等式（一切 x 成立）。判断的标准动作：整理成一边为零，看能否因式分解或用公式化简到零。恒等式用于化简，方程用于求解——用混了就会把化简题解出"解集"来。

常见问题

问：化简三角式的通用顺序？
答：一看角（不同角先统一：倍角拆半、和角展开），二看名（切割化弦），三看结构（平方想降幂、乘积想倍角、a sinx + b cosx 想辅助角）。三步之后多数式子已现原形。

问：tan x 的定义域为什么要挖点？
答：tan = sin ÷ cos，cos 为零处分母归零——这正是它图像上竖直渐近线的来源。

本节要点回顾

• 两角差余弦公式由单位圆加余弦定理推出，是全部和角、倍角、半角公式的母体；
• 倍角公式三种形态靠勾股恒等式互相切换，按需取用；
• 化简优先序：因式分解 → 倍角 → 降幂，别一上来就硬展开；
• 辅助角公式 = 频率相同两波合成一波，振幅是 (a, b) 的模长，相位用 atan2 稳妥求取；
• 数据合成案例：3 sin t + 4 cos t 的峰值晃动 5 厘米，一行读出。

第四章完结：塔已测完、误差已清、公式已备。下一章告别确定性，去给掷骰子的世界建立算术。