4.1 应力、应变与本构关系

4.1 应力、应变与本构关系

应力是构件截面上内力的分布集度（单位 MPa），应变是单位长度的变形量（无量纲）。两者通过本构关系连接，弹性阶段即胡克定律：应力等于弹性模量乘应变。本节建立截面法、应力应变定义、低碳钢拉伸曲线四阶段与许用应力体系，为一切强度计算打底。

本章支柱页已把问题摆好：走进材料内部。本节先造尺子（应力、应变、本构），下一节拿尺子去量三种基本变形。往前它继承第 1 章的截面法，往后它是第 7 章疲劳与断裂分析里应力循环的计量单位。

一、截面法：内力的显影术

杆件受拉，内部各分子之间的结合力在抵抗——这种"内力"看不见，但截面法能让它显影：假想用平面把杆切成两段，取一段为隔离体，切口上暴露出的力就是内力。这正是第 1 章自由体图思想的延伸：解除的不是外部约束，而是材料内部的连续性。

内力是截面上分布力系的合成，真正描述材料受载程度的是它的集度——应力。同一根杆，同样的轴力，细截面上的应力大于粗截面：断不断，不看轴力，看应力。

import numpy as np

# 同样 100 kN 拉力，三种截面尺寸的应力对比
F = 100e3  # N
for name, A_mm2 in [("40x40 方钢", 40*40), ("20x20 方钢", 20*20), ("M16 螺栓净截面近似", 157)]:
    sigma = F / (A_mm2 * 1e-6) / 1e6  # MPa
    verdict = "安全" if sigma < 235/1.5 else "超限"
    print(f"{name}: 面积 {A_mm2} mm²，应力 {sigma:.1f} MPa（Q235 屈服 235，"
          f"安全系数 1.5 下许用 {235/1.5:.0f}）{verdict}")
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同样的拉力，截面积从 1600 平方毫米缩到 157，应力放大十倍，从宽裕直接跨进超限。强度问题的第一直觉就此立起：载荷不变时，截面决定生死。

二、应力—应变曲线：材料的"性格档案"

低碳钢单向拉伸的曲线分四段：弹性段（线性，卸载后完全恢复）、屈服段（应力几乎不涨、应变猛增，出现流动平台）、强化段（再硬化、应力缓升）、颈缩段（局部缩颈直至断裂）。用数据把它重画一遍：

import numpy as np

# Q235 低碳钢简化拉伸曲线的分段数据（比例极限 235 MPa 段、平台、强化到 400 MPa 断裂）
eps_el = np.linspace(0, 0.00113, 20)            # 弹性段：E=210 GPa
sig_el = 210e3 * eps_el                          # MPa
eps_yield = np.linspace(0.00113, 0.015, 15)
sig_yield = np.full_like(eps_yield, 235.0)       # 屈服平台
eps_hard = np.linspace(0.015, 0.20, 40)
sig_hard = 235 + (400 - 235) * (eps_hard - 0.015) / (0.20 - 0.015)
print(f"弹性模量 E = 210 GPa：应力 235 MPa 对应应变 {235/210e3:.5f}")
print(f"屈服平台结束时应变为 1.5%，是弹性应变的 {0.015/0.00113:.0f} 倍")
print(f"断裂前总应变约 20%，伸长率标志着塑性储备")
# 卸载规律演示：强化段中点卸载，沿平行于弹性段的斜线返回
eps_u, sig_u = 0.10, 235 + (400-235)*(0.10-0.015)/(0.20-0.015)
eps_residual = eps_u - sig_u / 210e3
print(f"在 ({eps_u:.2f}, {sig_u:.0f} MPa) 处卸载：残余应变 {eps_residual:.4f}（约 {eps_residual*100:.1f}%）")
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三个数字值得刻进直觉：弹性应变只有千分之一量级，屈服后应变跳到百分之一量级（放大十倍），断裂前伸长可达两成。塑性是安全裕度的来源——超载时构件先屈服"示警"，而不是直接脆断。

图 低碳钢拉伸曲线四阶段

三、本构关系与三大弹性常数

胡克定律在单向应力下是应力等于弹性模量乘应变。三个弹性常数各管一件事：弹性模量 E 管拉压刚度，切变模量 G 管扭转刚度，泊松比 ν 管"横向收缩与纵向伸长之比"，三者满足 G = E / (2(1+ν))。钢的 E 约 210 GPa、铝约 70 GPa——同截面同载荷下铝杆变形是钢杆的三倍，刚度问题与强度问题是两回事，混谈是常见误区。

💡 关键直觉：强度问"会不会断"，刚度问"会不会变形过大"。机床床身用铸铁加粗截面解决的是刚度，锚栓用高强钢解决的是强度——同一个"够不够"问题，两种答案。

许用应力的定义把安全系数制度化：许用值等于危险应力（塑性材料取屈服极限，脆性材料取强度极限）除以安全系数。安全系数不是保守的谦虚，而是对载荷估计误差、材料离散、工艺缺陷的集体记账。

import numpy as np

# 安全系数敏感性：三种工况对同一根 Q235 杆件
sigma_s, A = 235.0, 500.0  # 屈服极限 MPa，截面积 mm²
for name, SF in [("建筑结构常规 1.5", 1.5), ("吊索起重类 5.0", 5.0), ("临時支撑参考 2.0", 2.0)]:
    allow = sigma_s / SF
    F_allow = allow * A / 1000  # kN
    print(f"{name}：许用应力 {allow:.0f} MPa，截面积 500 mm² 杆许用轴力 {F_allow:.1f} kN")
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同样的杆，安全系数从 1.5 提到 5，许用轴力从 78 kN 掉到 23.5 kN——吊索类应用里断裂后果严重且磨损难监控，系数就得给足。

本节要点回顾

• 截面法显影内力，应力才是裁判：构件安危不看内力总量，看单位面积上的集度。
• 四阶段曲线是材料性格档案：弹性千分之一、屈服百分之一、断裂前两成的伸长率分级。
• 塑性即示警：屈服平台给结构"先变形、后失效"的缓冲，脆性材料没有这道保险。
• 三常数三分工：E、G、ν 分别对应拉压、扭转与横向效应，刚度与强度不可混谈。
• 许用应力=危险应力/安全系数：系数是对不确定性集体记账，吊索类取高值的逻辑在后果严重性与磨损不可见性。

下一节把尺子用于拉压、扭转、剪切三种基本变形，并组合出真实轴类零件的复合受载。