4.2 拉压、扭转、剪切与组合变形

4.2 拉压、扭转、剪切与组合变形

三种基本变形：轴向拉压产生均布正应力（等于轴力除以截面积）；扭转产生沿半径线性分布的切应力（圆轴表面最大，等于扭矩乘半径除以极惯性矩）；直接剪切按平均切应力近似（等于剪力除以面积）。组合变形将它们叠加，再由强度理论折算校核。本节为每种变形给出完整算例与截面设计流程。

上一节造好了应力应变的尺子，这一节开始测量真实变形形态。它在知识链上承第 4.1 节的本构关系，向后直接对接第 5 章梁的应力分析（弯曲正应力公式的推导套路与本节扭转公式如出一辙）与第 7 章的轴类疲劳问题。

一、轴向拉压：最简单的变形形态

桁架杆、缆索、柱子都归这一类。正应力在横截面上均布，变形由胡克定律直接给出：伸长量等于轴力乘长度除以刚度 EA。刚度 EA 这个乘积提醒我们：变形控制要靠材料（E）和截面（A）双管齐下。

完整案例：三角架拉杆设计，从载荷到截面选定到刚度校核全程走完。

import numpy as np

# 三角架：顶点吊重 P=60 kN，两拉杆与水平成 30 度
P, deg = 60e3, 30.0
th = np.radians(deg)
# 节点平衡：2*N*cos(30) = P，每根杆轴力
N = P / (2 * np.cos(th))
print(f"每根拉杆轴力 {N/1000:.1f} kN")
# Q235，安全系数 1.5，许用应力 156.7 MPa
allow = 235 / 1.5
A_need = N / (allow * 1e6) * 1e6  # mm²
print(f"强度所需截面积 {A_need:.0f} mm²，选圆钢直径 "
      f"{2*np.sqrt(A_need/np.pi):.1f} mm，取 d=30 mm")
# 刚度校核：杆长 3 m，伸长量
d, L, E = 30e-3, 3.0, 210e9
A_act = np.pi * d**2 / 4
dl = N * L / (E * A_act)
print(f"实际面积 {A_act*1e6:.0f} mm²，伸长量 {dl*1000:.2f} mm")
print(f"工作应力 {N/A_act/1e6:.1f} MPa < 许用 {allow:.0f} MPa，强度与刚度双通过")
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注意最后一步：强度过了不算完，伸长量几毫米会不会影响使用，是另一个独立判断。桥梁拉索的垂度、桁架的变形协调，都从这个"轴力除以 EA"起步。

二、扭转：切应力的线性山坡

传动轴受扭，横截面上切应力沿半径线性分布：圆心为零、表面最大，公式为 τ = T·R / Ip，Ip 是极惯性矩（实心圆轴约等于 0.1 倍直径四次方）。设计启示直白：材料堆在圆心几乎不抗扭，空心轴用同样的材料量换来大得多的极惯性矩——这就是传动轴普遍做成空心的原因。

import numpy as np

# 传动轴：功率 50 kW，转速 400 r/min，许用切应力 40 MPa
P_w, n, tau_allow = 50e3, 400.0, 40e6
T = P_w / (2 * np.pi * n / 60)      # 扭矩 = 功率/角速度
print(f"传递扭矩 {T:.0f} N·m")
# 实心轴设计：tau = 16T/(pi d^3) <= 允许值
d_solid = (16 * T / (np.pi * tau_allow)) ** (1/3) * 1000
print(f"实心轴最小直径 {d_solid:.1f} mm")
# 等重量空心轴（内外径比 0.6）：等截面积求外径
alpha = 0.6
A_s = np.pi * (d_solid/1000)**2 / 4
D = np.sqrt(4 * A_s / (np.pi * (1 - alpha**2))) * 1000
t = D * (1 - alpha) / 2
Ip_h = np.pi * (D/1000)**4 * (1 - alpha**4) / 32
Ip_s = np.pi * (d_solid/1000)**4 / 32
print(f"等重量空心轴外径 {D:.1f} mm 壁厚 {t:.1f} mm")
print(f"极惯性矩提升 {Ip_h/Ip_s:.2f} 倍，最大切应力降为 {tau_allow/(Ip_h/Ip_s):.1f} MPa")
# 单位长度扭转角对比（G=80 GPa）
G = 80e9
print(f"等重量下空心轴扭转刚度还高 {Ip_h/Ip_s:.2f} 倍")
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等重量的空心轴把极惯性矩抬高一倍以上，应力与扭角双双减半——材料远离圆心的每一毫米都在挣工钱。

三、直接剪切与挤压

铆钉、螺栓、键连接的失效模式是剪切：截面两侧材料试图错动，连接件在剪切面上承担剪力。平均切应力近似为剪力除以剪切面积，配上来自实验的许用切应力（一般取同材料许用正应力的六成左右）。挤压则是接触面的压溃校核，用挤压力除以挤压投影面积。

import numpy as np

# 搭接接头：两块 10 mm 钢板，3 个 d=16 mm 铆钉，传递拉力 F=90 kN
F, d, n_riv = 90e3, 16e-3, 3
A_shear = n_riv * np.pi * d**2 / 4        # 双剪还是单剪？搭接=单剪
tau = F / A_shear / 1e6
print(f"单剪切应力 {tau:.1f} MPa（许用约 94 MPa）{'安全' if tau < 94 else '超限'}")
A_bear = n_riv * d * 10e-3                # 挤压面=直径乘板厚
sig_b = F / A_bear / 1e6
print(f"挤压应力 {sig_b:.1f} MPa（许用约 200 MPa）{'安全' if sig_b < 200 else '超限'}")
# 若改双剪（双盖板）：剪切面翻倍
print(f"改双盖板双剪：切应力降为 {tau/2:.1f} MPa")
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双剪结构让连接承载翻倍，代价是多一层盖板——连接设计的取舍从来是这种"结构换性能"的交易。

四、组合变形与强度理论

真实构件很少只受一种变形：转轴同时弯又扭，压力容器筒壁双向受拉。组合变形在线弹性范围内可以叠加，但两种应力分量不能直接比大小，需要强度理论把它们折算成"等效的单向应力"。钢这类塑性材料常用第四强度理论（畸变能），等效应力等于平方和开方形式组合各分量。

import numpy as np

# 传动轴：弯矩 M=1.2 kN·m 与扭矩 T=2.0 kN·m 同时作用
M, T = 1.2e3, 2.0e3
sigma_allow = 100e6   # 某合金钢许用
# 试选 d=55 mm
d = 55e-3
W = np.pi * d**3 / 32      # 抗弯截面模量
Wt = np.pi * d**3 / 16     # 抗扭截面模量
sigma = M / W
tau = T / Wt
# 第四强度理论（弯扭组合）
sigma_eq = np.sqrt(sigma**2 + 3 * tau**2)
print(f"弯曲正应力 {sigma/1e6:.1f} MPa，扭转切应力 {tau/1e6:.1f} MPa")
print(f"第四理论等效应力 {sigma_eq/1e6:.1f} MPa，许用 {sigma_allow/1e6:.0f} MPa")
print("结论：", "安全" if sigma_eq < sigma_allow else "需加大直径")
# 找到刚好满应力的直径
from scipy.optimize import brentq
def eq(d):
    W2, Wt2 = np.pi*d**3/32, np.pi*d**3/16
    return np.sqrt((M/W2)**2 + 3*(T/Wt2)**2) - sigma_allow
d_opt = brentq(eq, 0.03, 0.1)
print(f"满应力设计直径 {d_opt*1000:.1f} mm")
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图 三种基本变形的应力分布对比

本节要点回顾

• 拉压看截面、控变形看刚度 EA：强度与刚度是两笔账，桁架设计常被变形而非强度卡住。
• 扭转切应力沿半径爬坡：极惯性矩吃直径四次方，空心化是等重量下的第一优化手段。
• 剪切与挤压成对校核：连接件单剪改双剪承载翻倍，挤压面用投影面积。
• 组合变形靠叠加加折算：塑性材料弯扭组合用第四强度理论，等效应力对接许用值。
• 满应力设计：让工作应力贴着许用值走，材料才没白费，数值求根一秒定径。

单根构件的分析至此齐备。下一章把它们拼成梁与结构，看内力沿长度如何分布、结构何时整体失稳。