5.1 剪力图与弯矩图

5.1 剪力图与弯矩图

剪力图与弯矩图是梁内力沿长度变化的图形：剪力是截面一侧横向力的代数和，弯矩是截面一侧力矩的代数和。载荷集度、剪力、弯矩之间满足微分关系（载荷集度为零处剪力图水平、剪力为零处弯矩取极值），是快速作图与校核的核心工具。本节训练列方程画图、数值扫描、读图定位危险截面三项能力。

本章支柱页把任务分成"定位"与"裁决"两步，本节是定位一步。它直接消费第 1 章的支座反力，产出（最大弯矩与最大剪力）是下一节强度校核的输入，也是第 7 章疲劳分析里应力循环幅值的基准。

一、内力方程：把截面当变量

求梁内力的操作是第 1 章截面法的批量重复：在位置 x 处假想切开，取左侧为隔离体，剪力等于左侧全部横向力的代数和，弯矩等于左侧全部力对截面形心力矩的代数和。规定"左上右下"的剪力为正、"下凸"的弯矩为正，符号约定统一后图形才有共同语言。

简支梁受均布载荷是第一课，全程做完：

import numpy as np

# 简支梁跨长 6 m，均布载荷 q=15 kN/m
L, q = 6.0, 15e3
x = np.linspace(0, L, 601)
V = q * (L/2 - x)          # 剪力方程：左半正、右半负，线性
M = q * x / 2 * (L - x)    # 弯矩方程：抛物线
print(f"支座反力各 {q*L/2/1000:.1f} kN")
print(f"最大剪力 {np.max(np.abs(V))/1000:.1f} kN（支座内侧截面）")
i_max = np.argmax(M)
print(f"最大弯矩 {M[i_max]/1000:.1f} kN·m，出现在 x = {x[i_max]:.2f} m（跨中）")
print(f"理论值 qL²/8 = {q*L**2/8/1000:.1f} kN·m，数值扫描吻合")
​

跨中弯矩等于 qL²/8，这个数在工程里出现频率之高，值得当电话号码记。但真正要练的不是背公式，而是从截面法出发把它推出来——载荷形式一变（集中力、力偶、梯形分布），公式就换脸，方法不变。

二、微分关系：图形的语法规则

载荷集度 q、剪力 V、弯矩 M 三者之间有一组微分关系：剪力对位置的导数等于负的载荷集度，弯矩对位置的导数等于剪力。它给出图形的"语法"：

这套规则让画图变成填空：节点处突变、段内按微分关系连线、剪力过零处弯矩取极值。校核也靠它——弯矩图斜率与剪力图对不上，必有一张图错了。

import numpy as np

# 外伸梁：A 简支 x=0，B 简支 x=5，外伸端 C x=6.5 受集中力 12 kN，AB 段均布 10 kN/m
q, P, xa, xb, xc = 10e3, 12e3, 0.0, 5.0, 6.5
# 反力（对 A 取矩求 B）
RB = (q * 5 * 2.5 + P * xc) / 5
RA = q * 5 + P - RB
print(f"RA={RA/1000:.2f} kN, RB={RB/1000:.2f} kN")
# 分段数值扫描
x1 = np.linspace(0, 5, 300)          # AB 段
V1 = RA - q * x1
M1 = RA * x1 - q * x1**2 / 2
x2 = np.linspace(5, xc, 100)         # BC 外伸段
V2 = -P
M2 = -P * (xc - x2)
print(f"AB 段最大正弯矩 {np.max(M1)/1000:.2f} kN·m @ x={x1[np.argmax(M1)]:.2f}")
print(f"B 支座处弯矩 {M1[-1]/1000:.2f} kN·m（负值，上侧受拉）")
print(f"外伸段剪力恒为 {-V2[0]/1000:.0f} kN，B 到 C 弯矩线性回到零")
# 校核微分关系：dM/dx 应等于 V
dMdx = np.gradient(M1, x1)
print(f"AB 段 dM/dx 与 V 的最大偏差 {np.max(np.abs(dMdx - V1)):.1f} N（数值导数精度内）")
​

图 典型内力图形态速查

三、从图到设计：危险截面定位

内力图的终点不是图本身，而是回答"哪最危险"。对细长梁，弯矩通常是控制因素（正应力与高度成正比、切应力与宽度成反比，弯矩主导的梁高瘦）；短粗梁、木梁、薄腹板梁则要额外查剪应力。下一节的强度校核就从这里取数。

import numpy as np

# 悬臂梁：固定端在左，全长 2.4 m，端部集中力 8 kN + 全长均布 5 kN/m
L, P, q = 2.4, 8e3, 5e3
x = np.linspace(0, L, 241)
M = -(P * (L - x) + q * (L - x)**2 / 2)   # 固定端最负
print(f"固定端弯矩 {M[0]/1000:.2f} kN·m，自由端为零")
V = P + q * (L - x)
print(f"固定端剪力 {V[0]/1000:.1f} kN")
# 假如中间加一根拉杆（变成弹性支座），固定端弯矩立减——超静定的初步直觉
F_tie = 6e3   # 假设拉杆在 x=1.2 m 提供向上的 6 kN
M2 = -(P*(L-x) + q*(L-x)**2/2) + np.where(x >= 1.2, F_tie*(x-1.2), 0)
print(f"加拉杆后固定端弯矩 {M2[0]/1000:.2f} kN·m，跨中某处出现新极值 {np.max(M2)/1000:.2f} kN·m")
print("内力图重画，最危险截面可能从固定端转移到别处——加支撑从来不是无代价的局部减负")
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⚠️ 常见坑：符号约定中途换轨。有人画剪力图用"左上右下为正"，列方程时又混入力矩正方向约定，两张图自相矛盾还互相校核通过不了。动手前把符号约定写在纸上，全程不换；数值方法的好处正是符号纪律由数组运算强制执行。

本节要点回顾

• 内力方程是批量截面法：取一侧隔离体，代数和直接写出剪力与弯矩。
• 微分关系是图形语法：无载段平直线、均布段抛物线、集中力处剪力突变弯矩尖角。
• 剪力过零处弯矩取极值：定位最大弯矩的第一线索，支座与集中力作用点是第二线索。
• 负弯矩区上侧受拉：读错受拉侧，钢筋加错边，是结构设计里代价最高的图面错误。
• 加支撑改变全局分布：新支座削减旧峰值也制造新极值，内力图必须整体重画。

图已画好，最危险截面已定位。下一节把这些内力代回应力公式，完成强度裁决，并给压杆补上稳定性这道独立考题。