6.1 单自由度振动与共振

6.1 单自由度振动与共振

单自由度系统用一个坐标就能完整描述运动，其固有频率只取决于刚度与质量（开方之比）。共振发生在激励频率接近固有频率时，稳态响应幅值被放大若干倍，放大倍数由频率比与阻尼比共同决定。本节建立振动方程、数值积分求解、绘制放大系数曲线，并给出共振区工程的对策清单。

本章支柱页已经预告：先把单自由度这个小宇宙研究透，多自由度不过是它的特征值展开。本节就是那个小宇宙；下一节加阻尼度量与模态展开。它与第 3 章的直接接头是牛顿方程，与第 5 章的接头是刚度（力与位移之比）。

一、振动方程：惯性与弹性的拉锯

质量块挂在弹簧上，偏离平衡位置后松手，弹性恢复力把它往回拉，惯性又让它冲过平衡点——往返复始，这就是自由振动。对质量块列牛顿方程：惯性力等于恢复力加阻尼力，移项后就是振动教科书的标准形式。固有频率等于刚度除以质量再开方，物理直觉干净利落：越硬越快、越重越慢。

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

# 单自由度自由振动：m=10 kg，k=4000 N/m，无阻尼，初位移 0.05 m
m, k = 10.0, 4000.0
w_n = np.sqrt(k / m)
print(f"固有频率 {w_n:.3f} rad/s = {w_n/2/np.pi:.3f} Hz，周期 {2*np.pi/w_n:.3f} s")
def rhs(t, s):
    return [s[1], -(k/m) * s[0]]
sol = solve_ivp(rhs, [0, 3], [0.05, 0.0], t_eval=np.linspace(0, 3, 600), rtol=1e-9)
peaks = sol.y[0][np.argmax(sol.y[0])::150][:3]
print(f"位移峰值序列保持 {peaks[0]:.4f} m：无阻尼，振幅永不衰减")
# 参数敏感性
for note, kk, mm in [("刚度翻倍", 8000, 10), ("质量翻倍", 4000, 20), ("同时翻倍", 8000, 20)]:
    print(f"{note}：固有频率变为 {np.sqrt(kk/mm)/w_n:.2f} 倍")
​

同时翻倍频率不变——刚度与质量同比例放大，系统节奏不变。这个"比例不变性"解释了为什么几何相似的钢结构模型试验（第 7 章）能部分反映原型动力特性。

二、共振：放大系数曲线的三个频区

给系统加简谐激励，稳态响应仍是简谐，幅值被放大 D 倍。动力放大系数 D 由频率比（激励频率比固有频率）与阻尼比决定：低频区 D 趋近 1（系统跟着激励走，准静态）；共振区 D 冲向峰值（峰值约等于 1 除以两倍阻尼比）；高频区 D 趋于零（系统懒得动，天然隔振）。

把这条曲线完整画出来（数值化）：

import numpy as np

# 阻尼比 zeta = 0.02, 0.05, 0.1 三条放大系数曲线
r = np.linspace(0.01, 3, 400)
print(f"{'频率比':>6} " + " ".join(f"{z:>8}" for z in [0.02, 0.05, 0.10]))
for rr in [0.5, 0.9, 0.98, 1.0, 1.05, 1.5, 2.5]:
    row = []
    for z in [0.02, 0.05, 0.10]:
        D = 1 / np.sqrt((1 - rr**2)**2 + (2*z*rr)**2)
        row.append(D)
    print(f"{rr:6.2f} " + " ".join(f"{v:8.2f}" for v in row))
print("共振点附近：阻尼比 0.02 时放大 25 倍，0.10 时只有 5 倍")
print("频率比 2.5 时：放大系数 0.19，响应比激励还小——高频区的天然隔振")
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三个频区读法直接翻译成工程语言：运转转速要避开固有频率至少三成（调频）；避不开就加阻尼（阻尼比从 2% 提到 10%，共振峰值降五倍）；反过来做隔振时，把支承做到足够"软"，让系统固有频率远低于激励频率，传递率自然低。

图 动力放大系数曲线与三个频区

三、共振对策的三板斧

调频（改刚度或质量，把固有频率挪离激励频率）、增阻尼（粘滞阻尼器、摩擦阻尼、调谐质量阻尼器）、吸振（在主结构上附加一个小质量子 系统，让它在共振频率反向发力）。高层建筑的调谐质量阻尼器是第三板斧的招牌应用：

import numpy as np

# 主结构等效单自由度：m1=100 t，k1=50000 kN/m；吸振器 m2=2 t
m1, k1 = 100e3, 5e7
m2 = 2e3
w1 = np.sqrt(k1 / m1)
# 吸振器最优调谐：固有频率等于主结构频率
k2 = m2 * w1**2
print(f"主结构固有频率 {w1:.2f} rad/s（{w1/2/np.pi:.2f} Hz）")
print(f"吸振器所需刚度 {k2/1000:.0f} kN/m，仅为主结构的 {k2/k1:.1%}")
# 加吸振器后系统的两个固有频率（无阻尼特征值）
M = np.diag([m1, m2]); K = np.array([[k1+k2, -k2], [-k2, k2]])
w2 = np.sqrt(np.linalg.eigvals(np.linalg.solve(M, K)))
print(f"耦合系统两阶频率 {np.sort(w2.real)}：原来单一的共振峰劈成两个小峰")
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一个只占主结构质量 2% 的吸振器，把共振峰劈成两个矮峰——台北 101 大楼那个 660 吨的摆球，做的正是这件事。

⚠️ 常见坑：把"通过共振区"当成"停在共振区"。旋转机械升速过程必然扫过固有频率，短时通过响应来不及累积到稳态峰值，真正致命的是长时间驻留；反过来，启动流程设计成快速过共振，本身就是工程对策。

本节要点回顾

• 固有频率=开方(刚度/质量)：越硬越快、越重越慢，同比例放大不变。
• 三个频区三种策略：低频按静载、共振要避开或加阻尼、高频天然隔振。
• 共振峰值约等于 1/(2 倍阻尼比)：阻尼比 2% 的钢结构放大 25 倍，这就是为什么阻尼器值钱。
• 吸振器以小博大：2% 质量的子结构把单峰劈成双峰，代价是需要精确调谐。
• 过共振区不等于驻留共振：升速曲线的设计本身是防共振工具。

下一节给共振装上"刹车"（阻尼度量），并把单自由度扩展成多自由度的模态世界。