6.2 阻尼、受迫振动与模态分析

阻尼比是无量纲的阻尼度量：小于 1 为欠阻尼（振荡衰减），等于 1 为临界阻尼（最快不振荡）。模态分析把多自由度振动分解为若干单自由度"振型"的叠加，每一阶振型有自己的固有频率。本节完成阻尼的实测估算、受迫振动的稳态求解、两自由度系统的特征值分析，打通通向有限元动力计算的最后一公里。

上一节把共振曲线立起来了，这一节补上两块：阻尼怎么量（它决定共振峰多高），多自由度怎么拆（真实结构频率不止一个）。它与第 7 章的接头最密：实验模态辨识测的就是本节定义的量，有限元特征值求解器算的就是本节的方程。

一、阻尼：振动的刹车片

阻尼的物理来源驳杂（材料内摩擦、连接面滑移、空气阻力），工程上统一折算成等效粘滞阻尼，用阻尼比描述强弱。钢焊接结构约 1%–3%，混凝土结构 3%–8%，有阻尼器的结构可以设计到 15% 以上。实测的通行办法是"对数减缩"：量自由衰减相邻两峰的幅值比取对数，除以周期。


import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

# 给单自由度系统加阻尼，模拟衰减曲线并反推阻尼比
m, k, zeta = 10.0, 4000.0, 0.03
c = 2 * zeta * np.sqrt(m * k)     # 阻尼系数由阻尼比折算
w_n = np.sqrt(k/m)
def rhs(t, s):
    return [s[1], -(c/m)*s[1] - (k/m)*s[0]]
sol = solve_ivp(rhs, [0, 8], [0.05, 0.0], t_eval=np.linspace(0, 8, 4000), rtol=1e-10)
# 找位移峰：局部极大
y = sol.y[0]; t = sol.t
peaks = [i for i in range(1, len(y)-1) if y[i] > y[i-1] and y[i] > y[i+1]]
amps = y[peaks]; times = t[peaks]
delta = np.log(amps[0] / amps[1])          # 对数减缩（相邻峰）
zeta_est = delta / np.sqrt(4*np.pi**2 + delta**2)
print(f"真实阻尼比 0.03，对数减缩反推 {zeta_est:.4f}")
print(f"相邻峰间隔 {times[1]-times[0]:.3f} s，阻尼固有周期略长于无阻尼周期 {2*np.pi/w_n:.3f} s")
print(f"衰减包络：约 {1/(2*np.pi*zeta):.0f} 个周期后幅值降到 1/e")

阻尼比 3% 的系统要荡 50 多个周期才衰减到三分之一幅值——钢桥在重车过后余振不息，原因就在这里。反过来做实验：敲一下结构量衰减率，阻尼比就到手，这是第 7 章模态实验的敲门砖。

二、受迫振动的稳态解

简谐激励下欠阻尼系统的响应分两段：瞬态段（自有振动按阻尼衰减）与稳态段（跟随激励频率的简谐运动）。工程关心的几乎全是稳态段：幅值放大系数、相位滞后（共振点附近相位翻转 180 度，这是辨识共振的实验特征——幅值未必精确可测，相位翻转骗不了人）。


import numpy as np

# 稳态响应扫描：激励频率扫过固有频率，记录幅值与相位
m, k, zeta, F0 = 10.0, 4000.0, 0.03, 50.0
w_n = np.sqrt(k/m)
print(f"{'频率比':>6} {'幅值mm':>8} {'相位deg':>8}")
for r in [0.3, 0.7, 0.95, 1.0, 1.05, 1.3, 2.0]:
    w = r * w_n
    X = F0 / k / np.sqrt((1-r**2)**2 + (2*zeta*r)**2)   # 稳态幅值
    phi = np.degrees(np.arctan2(2*zeta*r, 1-r**2))        # 相位滞后
    print(f"{r:6.2f} {X*1000:8.2f} {phi:8.1f}")
print("相位在频率比 1 附近从不到 90 度跳到超过 90 度——共振判据比峰值更稳")

三、两自由度：模态世界的入口

真实结构有分布的质量与刚度，离散后就是多自由度。振动方程写成矩阵形式后，特征值问题给出全部固有频率与振型：每一阶振型是结构的一种"固定舞步"，初始扰动按各阶振型分解，各自以自己的频率振荡、以自己的速率衰减。两自由度系统足以展示全部核心现象：


import numpy as np

# 两层框架简化：两层质量各 5 t，层刚度各 20000 kN/m
m = 5000.0; k = 2e7
M = np.diag([m, m])
K = np.array([[2*k, -k], [-k, k]])
# 广义特征值问题：K phi = w^2 M phi
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(np.linalg.solve(M, K))
idx = np.argsort(eigvals)
w = np.sqrt(eigvals[idx].real)
V = eigvecs[:, idx].real
print(f"第一阶固有频率 {w[0]:.2f} rad/s，第二阶 {w[1]:.2f} rad/s")
print(f"第一阶振型 {V[:,0]/V[0,0]}：同向，层间相对位移小")
print(f"第二阶振型 {V[:,1]/V[0,1]}：反向，出现一个节点")
# 模态质量归一化检查
for i in range(2):
    print(f"第 {i+1} 阶广义质量 = {V[:,i] @ M @ V[:,i]:.0f} kg（振型缩放任意，通常归一化）")
# 与单层对比：每层单独的固有频率
print(f"单层等效固有频率 {np.sqrt(k/m):.2f} rad/s——耦合后劈成一低一高两阶")

第一阶两质量同向摆（整栋楼平移倾向），第二阶反向错动（层间互压）。地震反应谱分析先算前几阶频率与振型，就是把多自由度问题拆成一串单自由度分别应对再叠加——模态叠加法的全部思想就是这一句话。

图多自由度系统的模态叠加

💡 关键直觉：振型是"形状"不是"大小"——特征向量天然差一个缩放系数，工程上读完振型看的是节点位置与相对幅值，问"顶层位移是底层的几倍"有意义，问"顶层振型值等于几毫米"没有意义。

本节要点回顾

阻尼比是共振峰高的总开关：对数减缩一行代码从衰减曲线反推，敲击法是现场最省事的测法。
相位翻转是共振的铁证：幅值受边界影响大，90 度附近的相位翻转不撒谎。
矩阵特征值给出全部频率与振型：两自由度已经展示"劈峰""节点"等全部核心现象。
模态叠加一句话：多自由度拆成单自由度分别处理再合成，地震反应谱与动力有限元都建立在这句话上。
振型无绝对大小：只有形状有意义，归一化只是约定。

振动理论已经备齐。下一章进入收官：用实验验证预测、用有限元放大算力、用疲劳断裂补上时间维度的失效。

作者与出处

原作者：灏天文库

来源：灏天文库

整理：灏天文库整理

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