12.子群

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title: 12. 子群 tags: zk basic abstract algebra group theory subgroup WTF zk 教程第 12 讲：子群这一讲，我们介绍子群的概念。子群可以看作是群的"儿子"，是群中一部分元素构成的集合，同时满足群的定义。它能够帮助我们理解群的内部结构。子群的定义设 $(G, )$ 是一个群， $H$ 是 $G$ 的一个非空子集。如果 $H$ 对于群运算 $$ 也构成一个群，那么 $(H, )$ 被称为 $(G, )$ 的子群，记作 $(H, ) \leq (G, )$。


title: 12. 子群
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WTF zk 教程第 12 讲：子群

这一讲，我们介绍子群的概念。子群可以看作是群的"儿子"，是群中一部分元素构成的集合，同时满足群的定义。它能够帮助我们理解群的内部结构。

1. 子群的定义

设 (G, ) 是一个群， H 是 G 的一个非空子集。如果 H 对于群运算 $ 也构成一个群，那么 (H, ) 被称为 (G, ) 的子群，记作 (H, ) \leq (G, )。有时为了方便，在上下文明确的情况下可以省略运算符号，用集合表示一个群，比如 H \leq G$

为了成为子群， H 中的元素需要属于 G ，另外还须满足群的 4 个基本性质：封闭性，结合律，存在单位元，存在逆元。

让我们通过一些例子来理解子群的概念：

1.1 整数加法群的子群

考虑整数加法群 (\mathbb{Z}, +)，可以找到一些它的子群，比如：

偶数群： 由所有偶数构成的子集和加法运算构成的群。
- 封闭性：任意两个偶数相加仍然是偶数。
- 结合律: 显然满足。
- 单位元： 0 是整数加法的单位元，也是偶数群的单位元。
- 逆元：每个偶数的逆元是其相反数，也是偶数。

偶数群子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它是整数加法群的子群。

1.2 正整数模 5 乘法群的子群

考虑正整数模 5 乘法群 (\mathbb{Z}_5^* , \times)，其中 \mathbb{Z}_5^* = \set{1,2,3,4} 。它的子群有：

单位元子群 \langle 1 \rangle： 由单位元 1 构成的子集。这种只包含单位元这一个元素的子群也叫平凡子群。
- 封闭性： 1 \times 1 = 1，仍然属于单位元子群。
- 结合律: 显然满足。
- 单位元： 1 是整数乘法的单位元，也是单位元子群的单位元。
- 逆元： 1 的逆元是 1，也是单位元子群。
子集 \set{1, 4} 构成的子群。
- 封闭性：根据两两相乘表格，运算结果仍然属于 \set{1, 4}。
  
  × 1 4
  
  1 1 4
  
  4 4 1
- 结合律: 显然满足。
- 单位元： 1 是群的单位元。
- 逆元：模 5 下，1 的逆元是 1，4 的逆元是 4。
子集 \set{1, 2, 3, 4} 构成的子群，它其实等于正整数模 5 乘法群本身。

这 3 个子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它们都是正整数模 5 乘法群的子群。那么子集 \set{1,2,3} 可以构成子群吗？请试图证明。

1.3 整数模 6 加法群的子群

考虑整数模 6 加法群 (\mathbb{Z}_6,+)，其中 \mathbb{Z}_6 = \set{0,1,2,3,4,5} 。它的子群有：

单位元子群 \langle 0 \rangle： 由单位元 0 构成的子集。
由子集 \set{0, 3} 构成的子群。
- 封闭性：两两相加，运算结果仍然属于 \set{0, 3}。
- 结合律: 显然满足。
- 单位元： 0 是群的单位元。
- 逆元：模 6 下，0 的加法逆元是 0，3 的加法逆元是 3。
由子集 \set{0, 2 ,4} 构成的子群。
- 封闭性：两两相加，运算结果仍然属于 \set{0, 2 ,4}。
- 结合律: 显然满足。
- 单位元： 0 是群的单位元。
- 逆元：模 6 下，0 的加法逆元是 0，2 和 4 互为加法逆元。
由子集 \mathbb{Z}_6=\set{0,1,2,3,4,5} 构成的子群，它其实等于母群。

这 4 个子群满足封闭性、结合律、单位元和逆元的要求，因此它们都是整数模 6 加法群的子群。那么子集 \set{0,1,3,5} 可以构成子群吗？请试图证明。

2. 子群的性质

有了子群的定义，我们可以推导出一些有关子群的重要性质：

原群的单位元也是子群的单位元： H \leq G \Longleftrightarrow e_H = e_G，其中 e_H, e_G 为 H, G 的单位元。

点我展开证明

设 H 是群 G 的子群， e_G 是 G 的单位元， e_H 是 H 的单位元。对于 H 中的任意元素 h，由群的定义可知：

he_H = h

由于 H \leq G， e_H 也是 G 中的元素。那么 he_H 也是 G 中的运算。考虑 G 的单位元 e_G，有：

he_H = h = he_G

等式两边同时消去 h，有 e_H=e_G，因此原群的单位元也是子群的单位元。证毕。

元素 a 在子群中，那么它在原群中的逆元 a^{-1} 也在该子群中：

点我展开证明

设 H 是群 G 的子群， a 是 H 中的元素， a_G' 是 a 在 G 中的逆元，a_H' 是 a 在 H 中的逆元。我们有：

aa_H' = e

aa_G' = e

因此 aa_H' = aa_G'，我们在等式两端左 a_G' 可以消去 a，有 a_H' = a_G'。证毕。

子群的交集仍是子群： 若 H_1 \leq G 和 H_2 \leq G，则 H_1 \cap H_2 \leq G。我们可以用这个方法构建子群。

注意， H_1 \cup H_2 则不一定是 G 的子群，比如 2 和 3 属于 2\mathbb{Z} （2 的倍数）和 3\mathbb{Z} （整数中 3 的倍数）的并集，但它们的和 5 却不属于并集。

点我展开证明

考虑群 $(G,\cdot)$ 及其子群 $H_1$ 和 $H_2$：

封闭性： 设 a, b \in H_1 \cap H_2。则 a, b \in H_1 且 a, b \in H_2。由于 H_1 是 G 的子群，a \cdot b \in H_1。同理，由于 H_2 是 G 的子群，a \cdot b \in H_2。因此，a \cdot b \in H_1 \cap H_2。所以，H_1 \cap H_2 对于群 G 的运算是封闭的。
结合律： 显然满足。
单位元： 由于 H_1 和 H_2 都是 G 的子群，它们都包含 G 的单位元 e。因此他们的交集也包含 G 的单位元，即 e \in H_1 \cap H_2。
逆元： 设任意 a \in H_1 \cap H_2。由于 H_1 和 H_2 都是 G 的子群，它们包含 a 在 G 中的逆元素。因此，他们的交集也包含 a 在 G 中的逆元素，a^{-1} \in H_1 \cap H_2。

由封闭性、结合律、单位元和逆元素的性质，我们得知 H_1 \cap H_2 满足子群的定义。

证毕

3. 子群的检验

在第一节中，我们用群公理来检验子群：先检验是否为子集，然后检验封闭性、结合律、单位元和逆元，如果都满足，即为子群。这样检验有些麻烦，这一节我们介绍个更方便的子群的的检验方法。

给定一个群 (G, )，集合 H 为 G 的子集，那么 H 为 G 的子群当且仅当对于任意 a，b \in H，有 a b^{-1} \in H。

点我展开证明

我们分别证明充分性和必要性。

充分性（ \Rightarrow）：

假设 H 是 G 的子群。我们需要证明对于任意 a, b \in H，都有 a b^{-1} \in H。

由于 H 是 G 的子群，所以满足：

封闭性： 对于任意 a, b \in H，有 a b \in H。
逆元存在： 对于任意 a \in H，有 a^{-1} \in H。

设 c = b^{-1}，有 c \in H，因此根据封闭性 ac \in H，也就是 ab^{-1} \in H。充分性证明完毕。

必要性（ \Leftarrow）：

反过来，假设 H \subseteq G，对于任意 a, b \in H，都有 a b^{-1} \in H。我们需要证明 H 是 G 的子群。

封闭性： 对于任意 a, b \in H，有 b^{-1} \in H，根据假设，有 a (b^{-1})^{-1} \in H，而 (b^{-1})^{-1} = b，因此有 a b \in H。封闭性证明完毕。
结合律： 对于任意 a, b, c \in H，有 a, b, c \in G，因此 (ab)c =a(bc)。
单位元存在： 我们令 b = a，则有 a a^{-1} \in H，而 a a^{-1} = e 为单位元，因此单位元存在。
逆元存在： 令 a = e，对于任意 b \in H，有 e b^{-1} \in H，也就是 b^{-1} \in H，因此逆元存在。

综上所述，H 满足群公理的 4 个性质且 H \subseteq G，因此 H 是 G 的子群。

证毕。

我们考虑正整数模 5 乘法群的例子，它对应的集合为模 5 的单元集 \mathbb{Z}_5^* = \set{1,2,3,4}，它的子集 \mathbb{H} = \set{1,4}，运算符号为模运算乘法。下表给出了任意 a, b \in \mathbb{H}， a \cdot b^{-1} 的结果，可以看到它们都属于 \mathbb{H}，因此满足封闭性。

a	b	b^{-1}	a \cdot b^{-1}
1	1	1	1
1	4	4	4
4	1	1	4
4	4	4	1

4. 总结

子群是群论中一个关键的概念，通过构建子群，我们可以更好地理解母群的结构和性质。在后续学习中，子群将为我们深入了解群的各种性质提供坚实的基础。