title: 14. 正规子群和商群
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WTF zk教程第14讲：正规子群和商群

在上一讲中，我们讨论了陪集，它是由子群和元素运算生成的集合，但并非群。然而，当子群满足特定的性质时，陪集可以构成一个群。这种满足性质的子群被称为正规子群，而由陪集构成的群则被称为商群。在本讲中，我们将深入学习它们。

1. 正规子群

正规子群是群论中一个特殊的子群类型，它的左陪集和右陪集是相同的集合。

定义：给定群 G 和它的子群 H，如果对于任意 g \in G，都有 gH = Hg（左陪集等于右陪集），则称 H 是 G 的正规子群，记作 H \trianglelefteq G。

这个定义有时也会写成 gHg^{-1} = H。而形如 aXa^{-1} 的运算也被称为共轭运算，换句话说，正规子群是一个在共轭运算下保持不变的子群。对于正规子群 H 中的元素 h 和任意 g \in G，有 ghg^{-1} \in H 成立。

任何群 G 都有两个平凡的正规子群：\{e\} 和 G。

密码学中常见群的子群基本都是正规子群。比如整数加法群 \mathbb{Z}，它的任意子群 n\mathbb{Z} = \set{..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} 都是正规子群。因为对于任意整数 k 和 n\mathbb{Z} 加法运算产生的左陪集和右陪集相等 k+n\mathbb{Z} = n\mathbb{Z} + k。再比如整数模 5 乘法群，由于乘法满足交换律，因此它的左陪集也和右陪集相等，任意子群都是正规子群。

2. 商群

当子群是正规子群的时候，它所构建的陪集能构成一个群，这个群被称为商群。

定义：给定群 (G,) 和它的正规子群 H，商群 (G/H, )（读作G模H）。商群的集合由所有的左陪集构成 G/H = \set{gH \mid g \in G}，商群的运算定义在两个陪集间，对于 g_1, g_2 \in G，有 (g_1H) (g_2H) = (g_1g_2)H。

商群和我们之前熟悉的群不同，每个元素都是形如 gH 的左陪集，而不是数字。你可以把运算理解为陪集间的运算，(g_1H) (g_2H) = g_1Hg_2H。当子群是正规子群时，运算才是定义良好的，有 g_1Hg_2H=g_1(Hg_2)H=g_1g_2HH=g_1g_2H。为了简单，我们会省略运算，记为 (g_1H) (g_2H)。

下面，我们检验商群是否符合群的 4 个基本性质：

1. 封闭性： 根据定义，对于任意 g_1H, g_2H \in G/H，有 (g_1H)(g_2H)=(g_1g_2)H，由于 g_1g_2 \in G，因此 g_1g_2H \in G/H，封闭性成立。

2. 结合律： 对于任意 g_1H, g_2H, g_3H \in G/H，有 [(g_1H)(g_2H)] (g_3H)= [(g_1g_2)H] (g_3H) = (g_1g_2g_3)H，而 (g_1H)[(g_2H)(g_3H)]=(g_1H)[(g_2g_3)H] = (g_1g_2g_3)H，因此 [(g_1H)(g_2H)] (g_3H) = (g_1H) [(g_2H)(g_3H)]，结合律成立。

3. 单位元： H 为 G/H 的单位元。因为群 G 的单位元为 e，有 eH = H 为 H 的陪集，因此 H \in G/H。对于任意 gH \in G/H，有 gH H = g H，因此 H 为 G/H 的单位元。

4. 逆元素： 对于任意 gH \in G/H， gH 的逆元为 g^{-1}H。因为 (gH)(g^{-1}H) = (gg^{-1})H = H。

经检验，商群满足群的4条基本性质，商群是群，很棒。接下来，咱们看一下商群的阶数（元素数量）。由于商群是陪集组成的群，因此它的阶数就是左陪集的数量，根据拉格朗日定理：

我们可以看到，商群的阶就是母群与子群的阶的商，这也是为什么它被称为“商群”。

2.1 例子

首先，我们以整数加法群 \mathbb{Z} 和正规子群 n\mathbb{Z} 为例，它的商群为 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}。

• 在商群中，陪集 k + n\mathbb{Z} 表示所有模 n 下与 k 同余的整数。这个商群的阶为 n，元素为 0 + n\mathbb{Z}, 1 + n\mathbb{Z}, \ldots, (n-1) + n\mathbb{Z}。这个商群的本质其实就是模 n 下的剩余群。

• 商群的运算定义为 (a + n\mathbb{Z}) (b + n\mathbb{Z}) = (a+b) + n\mathbb{Z}，依然属于 \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}。

• 单位元：为 0 + n\mathbb{Z}

• 逆元： k + n\mathbb{Z} 的逆元为 -k + n\mathbb{Z}。

接下来，我们以模 5 乘法群 \mathbb{Z}^*_5 和正规子群 H=\set{1,4} 为例。

• 商群为 \mathbb{Z}^*_5/H=\set{\set{1,4}, \set{2,3}}，阶为 2 = 4/2。

• 由于我们的例子是乘法群，商群之间的运算也是陪集之间的模5乘法。

• 单位元：为 \set{1,4}，因为 \set{1,4} \set{1,4} = \set{1 \times 1, 1 \times 4, 4 \times 1, 4 \times 4} = {1,4}，而 \set{1,4} \set{2,3} = \set{2,3}。

• 逆元： \set{1,4} 的逆元为 \set{1,4}， \set{2,3} 的逆元为 \set{2,3}。

3. 商群和同余关系

上一讲，我们利用陪集将整数的同余关系拓展到了群，形成了一种特别的等价关系：对于群 G 和它的一个子群 H，如果元素 a 和 b 属于同一个 H 的陪集，我们称 a 和 b 在模 H 下同余，记为 a \equiv b \pmod{H}。在商群中，这种同余关系更加特殊：

1. 运算封闭 由于商群是正规子群的陪集构成的群，运算是定义明确的。对于群 G 中的元素 a, b, c, d 和正规子群 H，如果有 a \equiv b \pmod{H} 和 c \equiv d \pmod{H}，则有 ac \equiv bd \pmod{H}。

2. 商群中的每个元素都代表了群中的一个等价类 商群 G/H 在结构上式对群 G 的一个简化。商群中的每个元素是陪集，并且保持了群 G 的运算。通过同余关系，商群的每个元素代表了群中的一个等价类。

我们会在下一讲介绍同态和同构时，更深入的介绍商群的良好性质。

4. 总结

这一讲，我们介绍了群论中两个重要的概念：正规子群和商群。正规子群是特殊的一种子群，它生成的左陪集和右陪集相等， gH=Hg，密码学中常见群基本都满足这一特性。当子群是正规子群时，本来只是集合的陪集可以构成群，这种群被称为商群。你可以把商群理解为某种剩余群，可以帮助我们更好的理解群的结构，还可以用来构建密码学算法，我们之后还会不断的学习它。