title: 16. Abel群
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WTF zk教程第16讲：Abel群

这一讲，我们将介绍一类在密码学中常用的群：Abel群，它的特点就是满足交换律。

1. Abel 群

Abel群除了满足4条群的基本性质之外，还需要满足交换律。若群 (G, ) 满足下列 5 个性质，则我们称 G 为 Abel群：

1. 封闭性： 对于任意 a, b \in G，有 a b \in G。
2. 结合律： 对于任意 a, b, c \in G，有 (a b) c = a (b c)。
3. 单位元： 存在一个元素 e \in G，对于任意 a \in G，有 a e = e a = a。
4. 逆元： 对于任意 a \in G，存在一个元素 b \in G，使得 a b = b a = e，其中 e 是单位元。
5. 交换律： 对于任意 a, b \in G，有 a b = b a。

因此，Abel就是满足交换律的群。由于加法、乘法运算都满足交换律，所以很多常见群都属于Abel群，包括：

1. 整数加法群 (\mathbb{Z}, +)，因为 a + b = b+a。

2. 整数去0乘法群 (\mathbb{Z}, \times)，因为 ab = ba。

3. 整数模n加法群 (\mathbb{Z}_n, +)，因为 a + b \equiv b+a \pmod{n}。

4. 整数模n乘法群 (\mathbb{Z}_n^*, \times)，因为 ab \equiv ba \pmod{n}。

2. Abel 群的性质

这一节，我们介绍Abel群的一些性质，并且将子群、正规子群、商群、同态的知识点复习一遍。

1. 群 (G, ) 为Abel群，当且仅当对于任意 a,b \in G，有 (ab)^2 = a^2b^2

以 (\mathbb{Z}, \times) 为例，有 (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 36

2. 群 (G, ) 为Abel群，对于任意 a,b \in G，有 (ab)^n = a^nb^n

以 (\mathbb{Z}, \times) 为例，有 (2 \times 3)^n = 2^n \times 3^n

3. Abel群的子群也是Abel群。

以 (\mathbb{Z}, +) 为例，偶数加法群是它的子群，并且它也是Abel群，满足交换律。

4. 群 (G, ) 为Abel群，对于整数n， G 中每个元素的 n 次方构成的群 G^n 是 G 的子群， G^n = \set{a^n \mid a \in G}。

以 (\mathbb{Z}, \times) 为例，所有整数的平方构成的群 \set{1, 4, 9, ...} 是它的子群。再以 `(\mathbb{Z}_5^*, \times)` 为例，所有元素的平方构成的集合 `(\mathbb{Z}_5^*)^2 = \set{1^2, 2^2, 3^2, 4^2} = \set{1,4,4,1} = \set{1,4}` 是它的子群。这个性质对于我们之后理解二次方剩余很有帮助。

5. Abel群的子群均是正规子群。

Abel群的交换律可以传递到子群，左右陪集相等，所以所有子群都是正规子群，可以构造商群。

6. Abel群的商群均是Abel群。

Abel群的交换律可以传递到商群。

3. 总结

这一讲很轻松，我们介绍了具有交换律的Abel群及其性质。密码学和零知识证明中的常用群都是Abel群，之后我们还会经常见到它。