18.群的直积
文档摘要
title: 18. 群的直积 tags: zk abstract algebra group theory direct product WTF zk 教程第 18 讲：群的直积 这一讲，我们介绍群的直积，它可以用简单的群生成复杂群。并且，我们将通过它重温中国剩余定理，并证明中国剩余映射。 群的直积 群的直积是两个或多个群的运算的组合，可以用来生成新的群。 定义： 给定两个群 $(G, )$ 和 $(H, )$，它们的直积 $ $ 是一个新群，由所有可能的有序对 $(g, h)$ 组成，其中 $g \in G$ 且 $h \in H$。
title: 18. 群的直积 tags: - zk - abstract algebra - group theory - direct product
WTF zk 教程第 18 讲：群的直积
这一讲，我们介绍群的直积，它可以用简单的群生成复杂群。并且，我们将通过它重温中国剩余定理，并证明中国剩余映射。
1. 群的直积
群的直积是两个或多个群的运算的组合，可以用来生成新的群。
定义： 给定两个群 (G, ) 和 (H, )，它们的直积 `G \times H` 是一个新群，由所有可能的有序对 (g, h) 组成，其中 g \in G 且 h \in H。G \times H 的运算为 $，对于任意 g_1, g_2 \in G 和 h_1, h_2 \in H$，
(G \times H, ) 满足群的 4 条基本性质：
-
封闭性（Closure）： 任意元素 (g_1, h_1), (g_2, h_2) 属于 G \times H， (g_1, h_1) (g_2, h_2) = (g_1 g_1, h_1 h_2) 仍属于 G \times H。
-
结合律（Associativity）： 继承于群 G 和 H。
-
存在单位元（Identity Element）： G \times H 的单位元为 (e_g, e_h)。
-
存在逆元（Inverse Element）： 对于群中的每个元素 (g, h)，存在逆元素 (g, h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1})，有 (g, h) (g^{-1}, h^{-1}) = (e_g, e_h)。
举个例子，两个整数加法群的直积 \mathbb{Z}^2 是所有整数向量 (x,y) 形成的加法群。运算符和向量加法，有 (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)。
再举个例子， \mathbb{Z}_3 和 \mathbb{Z}_5 的直积 \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 是所有所有可能的有序对 (x, y) 的集合，其中 x \in \mathbb{Z}_3， y \in \mathbb{Z}_5。这个直积群的阶（元素个数）是 15，正好等于 3 \times 5。
2. 直积的性质
性质 1. 两个群直积的阶等于它们阶的乘积。 即 |G \times H| = |G||H|。
点我展开证明
根据定义，直积 G \times H 由所有可能的有序对 (g, h) 组成，其中 g \in G 且 h \in H。对于每个 G 中的元素，我们都可以在 G \times H 中构造 |H| 个不同的元素。群 G 共有 |G| 个不同元素。因此 G \times H 中有 |G||H| 个元素，即 |G \times H| = |G||H|。证毕。
|\mathbb{Z}_3| = 3， |\mathbb{Z}_5| = 5，有 |\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5| = 15。
性质 2. 直积 G \times H 中元素 (g, h) 的阶是 |g| 和 |h| 的最小公倍数。 即 |(g,h)| = \text{lcm}(|g|,|h|)。特别的，如果 |g| 和 |h| 互质，那么 (g, h) 的阶就是 |g||h|
点我展开证明
设存在最小整数 k = |(g,h)| 使得 (g,h)^k = (e_g, e_h)。因为 (g,h)^k = (g^k, h^k)，因此 g^k = e_g, h^k = e_h。因此 k 被 |g| 和 |h| 整除，又因为 k 为满足条件的最小整数，因此 k = \text{lcm}(|g|,|h|)。证毕。
若 |g| 和 |h| 互质，那么 \text{lcm}(|g|,|h|) = |g||h|。证毕。
在 \mathbb{Z}_3 中，元素 1 的阶 |1|= 3；在 \mathbb{Z}_5 中，元素 1 的阶 |1|= 5。由于 \gcd(3,5)=1，因此在 \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 中，元素 1 的阶 |1|= 3 \times 5 = 15。
性质 3. 若群 G 和 H 是循环群，它们的阶分别为 |G| 和 |H|。直积 G \times H 是循环群，当且仅当 |G| 和 |H| 互质。
点我展开证明
必要性
群 G = \left \langle \, x \, \right \rangle 和 H = \left \langle \, y \, \right \rangle 是循环群，它们的阶 |G| = m 和 |H| = n，且 m 和 n 互质。设 |(x, y)| = k，那么有 (x,y)^k = (x^k, y^k) = (e_G, e_H)。
所以有 x^k = e_G 和 y^k = e_H，根据元素的阶的性质，有 m|k 且 n|k。又因为 \gcd(m,n) = 1，所以有 mn|k。
又因为 (x,y)^{mn} = (x^k, y^k) = (e_G, e_H)，有 k|mn。因此元素的阶 |(x, y)| = k = mn。根据性质 1，有 |G \times H| = |G||H| = mn。因此，元素 (x,y) 可以生成整个群， G \times H 为循环群。证毕。
充分性
|G| = m 和 |H| = n。假设 G \times H = \left \langle \, (x,y) \, \right \rangle 是循环群。根据性质 1，有 |G \times H| = |G||H| = mn。因为循环群的阶和生成元的阶相等，所以 |(x,y)| = mn。根据性质 2，有 |(x,y)| = \text{lcm}(|x|, |y|)。因此 \text{lcm}(|x|, |y|) = mn。
根据最大公约数和最小公倍数的关系，有 |x||y| = \gcd(|x||y|) \text{lcm}(|x|, |y|) = \gcd(|x||y|) mn 。又因为 |x| \leq m 且 |y| \leq n，所以 |x||y| \leq mn。因此，当且仅当 \gcd(|x||y|) = 1 时，等式成立，也就意味着 m 与 n 互质。证毕。
直积 \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_5 是循环群，生成元为 (1,1)，阶为 15。
3. 重温中国剩余定理
在数论基础中，我们介绍了中国剩余定理，它可以用于解同余方程组。我们简单复习一下：
整数 m_1, m_2,...,m_n 两两互质（对于 i \ne j，有 \gcd(m_i,m_j) = 1），方程组包含 n 个方程：
方程对于模 M=m_1 \cdot m_2 \cdot... \cdot m_n 有唯一解：
其中 b_i = M/m_i（即除了 m_i 以外的所有模数的乘积）， b_i'=b_i^{-1} \pmod{m_i}（即模 m_i 下 b_i 的逆元）。
现在我们可以通过群同构和直积更好地理解中国剩余定理：
如果 m_i 两两互质，那么映射 f: x \mod M \to (x \mod m_1,..., x \mod m_n) 定义了一个 Z_M 到 Z_{m_1} \times ... \times Z_{m_n} 的群同构。这个映射也被称为中国剩余映射。
点我展开证明
同态
首先，我们证明 f 是群同态。对于任意 a, b \in \mathbb{Z}_M，有 f(a+b) = a+b \mod M = (a+b \mod m_1,..., a+b \mod m_n) = (a \mod m_1,..., a \mod m_n) + (b \mod m_1,..., b \mod m_n) = f(a) + f(b)。因此 f 为群同态。证毕。
同构
m_i 两两互质， Z_{m_i} 皆为循环群，且 Z_{m_i} 的阶为 m_i。我们很容易将直积的性质 3 推广至 n 个群的情况，得到结论 Z_{m_1} \times ... \times Z_{m_n} 为循环群，它的阶为 M = m_1 \cdot m_2 \cdot... \cdot m_n。运用循环群的同构性质，任意 M 阶有限循环群都同构于整数模 M 加法群 Z_M。因此 Z_M 与 Z_{m_1} \times ... \times Z_{m_n} 同构。证毕。
由于 Z_M 和 Z_{m_1} \times ... \times Z_{m_n} 同构，它们之间的元素一一对应，因此同余方程组存在模 M 下的唯一解。
4. 总结
这一讲，我们介绍了群的直积，它是一种通过几个简单的群生成一个复杂的群的方法。利用群直积的性质，我们重温了中国剩余定理，从群论的角度理解了为什么模数互质的同余方程组存在唯一解。