17.循环群

title: 17. 循环群 tags: zk abstract algebra group theory cyclic group WTF zk 教程第 17 讲：循环群 这一讲，我们将介绍循环群，它是由一个元素生成的群结构，性质简单而重要，在密码学和数学中有广泛应用。 循环群 最简单的平凡群，也就是只包含单位元的群，比如 $(\set{0}, +)$，它只包含一个元素，并且满足群的 4 个基本性质。那么非平凡群中最简单的群是什么结构呢？假设群 $(G, )$ 除了单位元 $e$ 之外还包含一个元素 $a$，为了满足群的封闭性， $G$ 还要包含 $a$ 的逆元，以及和自身的运算。也就是说， $$ G = \set{..., a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, a^3, ...} $$ 这就是由 $a$ 生成的群，也被称为循环群。 定义： 循环群是由一个单一元素生成的群。设 $(G, )$ 是一个群，若存在一个元素 $g \in G$，使得通过对 $g$ 的不断群运算得到的所有元素构成的集合，即 $G = \left \langle \, g \, ...