title: 20. 环
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WTF zk 教程第 20 讲：环

在抽象代数中，环（Ring）是一种比群更复杂的代数结构。环包含了两个二元运算，通常表示为加法和乘法。这一讲，我们将介绍环的定义、分类和性质。

1. 环的定义

群是拥有一个运算的集合，而环是拥有两个二元运算的集合。它满足类似于整数加法和乘法的性质。环元素可以是整数或复数等数字，但也可以是多项式、函数和幂级数等非数字对象。

环的定义 一个环 (R, +, \cdot) 包含了一个非空集合 R 和两个二元运算 +（加法）和 \cdot（乘法），满足以下3条性质：

1. (R, +) 为Abel群（交换群），即满足：

   • 加法封闭性： 对于任意 a, b \in R， a + b \in R。

   • 加法结合律： 对于任意 a, b, c \in R， (a + b) + c = a + (b + c)。

   • 加法单位元： 存在一个元素 0 \in R，对于任意 a \in R， a + 0 = 0 + a = a。

   • 加法逆元： 对于任意 a \in R，存在一个元素 -a \in R，使得 a + (-a) = (-a) + a = 0。

   • 加法交换律： 对于任意 a,b \in R， a + b = b + a。

2. (R, \cdot) 为幺半群，即满足：

   • 乘法封闭性： 对于任意 a, b \in R， a \cdot b \in R。

   • 乘法结合律： 对于任意 a, b, c \in R， (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)。

   • 乘法单位元： 存在一个元素 1 \in R，对于任意 a \in R， a \cdot 1 = 1 \cdot a = a。

   有的书本中，环不需要有乘法单位元，与咱们的定义不同。咱们把不带乘法单位元的结构叫做伪环。

3. 乘法对于加法满足分配律，即对于任意 a, b, c \in R，有

   • a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
   • (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c。

总的来说，环对加法群的要求比较高，要形成Abel群（群的4条基本性质 + 交换律）；而乘法群要求低一些，只需要满足群的3条性质，不需要每个元素存在乘法逆元；同时，乘法和加法需要满足分配律。

由于环比群更加具体，因此在环中，我们使用加法 + 和乘法 \cdot 代表环中的运算，而不是抽象的 和 ；加法单位元用 0 表示；有时我们会把乘法符号省略，将 a \cdot b 写为 ab。

下面介绍环中常用的符号：

2. 环的例子

我们以整数环和整数模n环为例，来熟悉什么是环。

2.1 整数环 \mathbb{Z}

大家最熟悉的环就是整数环，它由所有整数集合 \mathbb{Z} 以及整数加法和乘法构成。

我们验证它是否满足环的基本性质：

1. (\mathbb{Z}, +) 为Abel群

2. (\mathbb{Z}, \cdot) 存在单位元 1，封闭，且满足结合律。

3. 整数加法和乘法满足分配律。

因此，整数环 (\mathbb{Z}, +, \cdot) 满足环的基本性质，构成环。

2.1 整数模n环 \mathbb{Z}_n

整数模n环也是密码学中常用的环，它由模n的剩余类以及模加法和乘法构成。

我们验证它是否满足环的基本性质：

1. (\mathbb{Z}_n, +) 为Abel群

2. (\mathbb{Z}_n, \cdot) 存在单位元 1，封闭，且满足结合律。

3. 模加法和乘法满足分配律。

因此，整数模n环 (\mathbb{Z}_n, +, \cdot) 满足环的基本性质，构成环。

3. 环的分类

3.1 零环

如果环 (R, +, \cdot) 中只有一个元素，根据环的基本性质，这个元素就是加法单位元 0。这个环就是 (0, +, \cdot)，我们称之为零环。

我们也把零环称为平凡环，把除零环以外的环称为非平凡环。

3.2 交换环

如果环 (R, +, \cdot) 中的乘法也满足交换律，即对于任意 a, b \in R，`ab = ba`，那么称该环为交换环。

我们在密码学常用环几乎都是交换环，比如整数环 (\mathbb{Z}, +, \cdot)，整数模 n 环 (\mathbb{Z}_n, +, \cdot)，因此在本教程中，环默认指代交换环，除非特殊说明。

3.3 整环

首先，我们介绍零因子。对于环 R，如果存在非零元素 a, b \in R，使得 ab = 0 成立，那么 a 和 b 被称为零因子。举个例子，在整数模6环 Z_6 中，有 2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod{6}，因此 2 和 3 为 Z_6 的零因子。

若交换环 R 中不存在零因子，那么我们称 R 为整环。举个例子， Z_5 是整环，任意两个非零元素相乘的结果不等于零。

3.4 域

域也是一种特殊的环。若交换环 (R, +, \cdot) 的乘法群去除零元素后 (R-\set{0}, \cdot) 能形成Abel群，那么我们称 R 为域。例如 Z_5 去除零元素后为 Z_5^* ，而 (Z_5^* , \cdot) 满足Abel群性质，因此 Z_5^* 。

域在密码学和零知识证明中非常重要，我们之后会有一讲专门介绍它。

4. 环的基本性质

下面，我们介绍一些环的基本性质。

性质1. 加法单位元 0 唯一。

性质2. 元素的加法逆元唯一。

性质3. 乘法单位元 1 唯一。

性质4. 元素的零乘性质： 对于任意元素 a，有 a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0，即 0 是乘法的吸收元素。

性质5. 非平凡环（非零环）中，加法单位元和乘法单位元不相等，即 0 \neq 1。

性质6. 元素 a 和 b 为环 R 中的元素，有 (-a)b = -(ab) = a(-b)。

性质7. 元素 a 和 b 为环 R 中的元素，有 (-a)b = -(ab) = a(-b) = - (-a)(-b)。

大家可以以整数环和整数模n环为例，理解这些性质。

5. 子环

对于环 (R, +, \cdot)，如果 S 是 R 的非空子集，且 S, +, \cdot 也是环，那么我们称 S 为 R 的子环。

我们可以用以下条件判断环 S 是否为 R 的子环：

1. 加法封闭： 对于任意 a, b \in S，有 a+b \in S。
2. 零元的保持： R 的零元也在 S 中，即 0_R = 0_S。
3. 加法逆元存在： 对于任意 a \in S，有 -a \in S。
4. 乘法封闭： 对于任意 a,b \in S，有 ab \in S。
5. （乘法）单位元存在： S 存在乘法单位元。

或者等价的：

1. 减法封闭（判断子群的条件）： 对于任意 a, b \in S，有 a+b \in S。
2. 乘法封闭： 对于任意 a,b \in S，有 ab \in S。
3. （乘法）单位元存在： S 存在乘法单位元。

6. 总结

这一讲，我们介绍了环的基本定义和性质，了解了环的一些例子。环是抽象代数中的一个重要概念，为后续学习提供了基础。