25.多项式环

title: 25. 多项式环 tags: zk abstract algebra polynomials polynomial ring WTF zk 教程第 25 讲：多项式环 在抽象代数中，多项式环是一种重要的代数结构，它在密码学和零知识证明中有广泛的应用。这一讲，我们将介绍多项式环的定义、性质以及一些基本操作。 多项式环 上一讲我们学习了多项式，它包含加法和乘法运算。群只包含一种运算，因此我们没法使用群来研究多项式；而环正好包含这两种运算，可以很好的和多项式结合。 多项式环是由一个变量的多项式集合构成的环，其中所有系数都来自一个环。 多项式环的定义 如果 $R$ 是一个环，那么 $R[x]$ 表示由 $R$ 中的元素构成的所有形如： $$ P(x) = \sum{j=0}^{n}{ajx^j} = anx^n + a{n-1}x^{n-1} + \ldots + a1x + a0 $$ 的多项式构成的集合，其中 $aj \in R$ 为系数， $n$ 为多项式的次数， $x$ 为变量。而环 $R$ 被称为 $R[x]$ 的基础环。 多项式环中的加法和乘法和多项式之间的一样。具体...