3.2 方差、矩、偏度与峰度

3.2 方差、矩、偏度与峰度

本节摘要：方差 Var(X)=E[(X−EX)²] 度量围绕期望的散布，标准差回到原量纲；k 阶矩 E(Xᵏ) 是数字特征的总纲，标准化三阶矩（偏度）刻画不对称、标准化四阶矩（峰度）刻画厚尾。本节用"两策略对决"案例说明为何期望相同还要比方差，并给出用模拟估计四大画像数字的完整流程。

同样的期望，不同的命运

策略 A：每局稳赢 10 元。策略 B：各以一半概率赢 1010 元或输 990 元。两策略期望同为 10 元/局，但 B 的实际轨迹惨烈得多——连输几局就可能爆仓。区分它们的数字是方差：Var(X) = E[(X−EX)²]，开方得标准差 σ 回到原单位。策略 A 方差为 0；策略 B 的方差 = 0.5×1000² + 0.5×1000² = 10⁶，标准差 1000 元。期望定价，方差定险——凯利公式、风险价值、夏普比率全都建立在这对搭档上。

方差的两个实用形式与性质：Var(X) = E(X²) − (EX)²（计算常用）；Var(aX+b) = a²Var(X)（平移不变尺度平方）。标准化的随机变量 Z = (X−μ)/σ 期望 0 方差 1，是所有"标准化/ z 分数"操作的出处——之后假设检验里反复出现的"统计量标准化"全是这一步。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(66)
n = 200_000
A = np.full(n, 10.0)                              # 策略A 稳赢
B = np.where(rng.random(n) < 0.5, 1010.0, -990.0) # 策略B 大开大合
for name, s in [("A", A), ("B", B)]:
    print(f"策略{name}: 期望 {s.mean():8.1f}  方差 {s.var():10.0f}"
          f"  标准差 {s.std():7.1f}")
# 100 局为一局的"局均"轨迹对比：方差在平均中被除以局数
for name, s in [("A", A), ("B", B)]:
    blocks = s[:n//100*100].reshape(-1, 100).mean(axis=1)
    print(f"策略{name} 每100局平均收益: 均值 {blocks.mean():6.2f}"
          f"  标准差 {blocks.std():6.2f}")
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关键输出：单局标准差 A 是 0、B 是 1000；但按 100 局平均后 B 的标准差降到约 100（1000/√100）——独立求平均，波动按 1/√n 缩小，这是第 5 章大数定律与中心极限定理的定量预告。

矩与画像三件套

k 阶原点矩 E(Xᵏ)、中心矩 E((X−μ)ᵏ) 是数字特征的总纲：一阶矩是期望、二阶中心矩是方差。三阶与四阶标准化中心矩补齐分布画像：

• 偏度 γ₁ = E((X−μ)³)/σ³：对称分布为 0；正偏（右尾长）如收入分布为正，负偏（左尾长）如考试成绩压缩分布为负
• 峰度 γ₂ = E((X−μ)⁴)/σ⁴ − 3：以正态为基准 0；投资收益的尖峰厚尾（超额峰度为正）意味着极端日比正态预言的更常见——1987 年单日 −22% 的美股在正态假设下几乎不可能，正态假设该背锅

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(4)
# 三个分布同台：对称(正态)、右偏(指数)、厚尾(t分布 自由度3)
data = {
    "正态":  rng.normal(0, 1, 500_000),
    "指数":  rng.exponential(1, 500_000),
    "t3":    rng.standard_t(3, 500_000),
}
for name, x in data.items():
    print(f"{name}: 期望 {x.mean():+.3f} 方差 {x.var():.3f} "
          f"偏度 {stats.skew(x):+.3f} 峰度 {stats.kurtosis(x):+.3f}")
# 厚尾后果展示：|x|>4σ 的实际频率对比
for name, x in data.items():
    z = (x - x.mean()) / x.std()
    print(f"{name}: |z|>4 实际频率 {abs(z).mean()*0+ (abs(z)>4).mean():.5f}"
          f"  正态理论 {2*stats.norm.sf(4):.2e}")
​

典型结果：正态偏度峰度都近 0；指数偏度约 +2；t(3) 峰度显著为正（理论上无穷），|z|>4 的实际频率比正态理论值高出两三个数量级。峰度不是"尖不尖"而是"尾厚不厚"——这是金融风控最常被误解的一个数字。

图 3-1 分布画像四数字：位置、散布、偏斜、尾部

切比雪夫式的保守预告

在第 5 章严格化之前，先记住方差的一个普适约束（切比雪夫不等式预告）：任何分布，落在期望 k 个标准差之外的概率不超过 1/k²。k=2 时不超过 25%、k=3 时不超过 11%。对正态实际只有 5% 与 0.3%，可见这个界很保守——但它的价值在"对任何分布都成立"，不依赖形状假设。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(77)
x = rng.exponential(1, 1_000_000)      # 换成任何分布试
mu, sd = x.mean(), x.std()
for k in [2, 3]:
    actual = (abs(x - mu) > k*sd).mean()
    print(f"k={k}: 切比雪夫上界 {1/k**2:.3f}  实际 {actual:.3f}")
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本节要点回顾

• 方差度量围绕期望的散布，计算常用 Var = E(X²) − (EX)²，平移不变、尺度平方
• 期望相同方差不同的赌局命运迥异：定价之外必须量险
• 独立平均使波动按 1/√n 缩小：大数定律与标准误的定量伏笔
• 偏度看不对称方向，峰度看尾部厚度而非峰尖：厚尾=极端值更常见
• 切比雪夫界 1/k² 对任何分布普适：保守但无需形状假设
• 标准化 (X−μ)/σ 贯穿全书：z 分数、检验统计量都是它