3.3 协方差与相关系数

3.3 协方差与相关系数

本节摘要：协方差 Cov(X,Y)=E[(X−EX)(Y−EY)] 度量两随机变量的同向联动，除以两个标准差得相关系数 ρ，锁定在 −1 与 1 之间。本节讲清联动度量的计算、ρ=±1 与线性关系的对应、不相关与独立的差别，并用"对冲组合"案例展示组合方差公式——相关系数决定 diversified 资产能否降险。

两个赌局一起记账，涨跌会同步吗

你同时持有两个赌局：黄金与股票。各自期望方差都可算，但组合的盈亏还取决于它们是否同涨同跌。度量联动的数字是协方差：

Cov(X,Y) = E[(X−EX)(Y−EY)] = E(XY) − EX·EY

直觉：X 高于均值时 Y 也倾向高于均值，乘积为正，协方差为正——同向联动；反向联动为负；无联动时正负抵消趋于 0。协方差的量纲是两个变量量纲的乘积，数值大小没法跨场景比较，于是除以 σₓσᵧ 标准化得相关系数：

ρ = Cov(X,Y)/(σₓσᵧ)，恒有 −1 ≤ ρ ≤ 1。ρ=1 完全正相关（Y 是 X 的正斜率线性函数），ρ=−1 完全负相关，ρ=0 称不相关。经验读法：|ρ| 在 0.1 以下极弱、0.3 弱、0.5 中、0.7 以上算强——但跨领域没有统一门槛，样本相关系数还要做显著性检验（第 7 章工具）。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(99)
n = 500_000
z1, z2 = rng.normal(0, 1, (2, n))
# 构造不同相关强度的配对：Y = ρ*X + sqrt(1-ρ²)*Z
for rho in [0.9, 0.5, 0.0, -0.7]:
    X = z1
    Y = rho*z1 + np.sqrt(1 - rho**2)*z2
    print(f"理论 ρ={rho:+.1f}  样本相关系数 {np.corrcoef(X, Y)[0,1]:+.4f}"
          f"  样本协方差 {np.cov(X, Y, bias=True)[0,1]:+.4f}")
​

样本相关系数逐行贴近构造值——构造公式本身（Cholesky 思想的二维版）也值得记住：它是第 4 章二维正态与模拟相关样本的标准手法。

不相关 ≠ 独立：一条高频红线

独立（联合可分解）推出不相关，反过来不成立：ρ=0 只排除线性关系，非线性依赖可以完全藏住。经典反例：X ~ N(0,1)，Y=X²。Y 由 X 完全决定，但 Cov(X,Y)=E(X³)=0（奇函数对称积分为零），相关系数为 0。模拟验证这个反例，并对照一个真正独立的对照：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(123)
X = rng.normal(0, 1, 1_000_000)
Y = X**2                                   # 完全依赖 但非线性
print("X 与 X平方 相关系数 = %+.4f" % np.corrcoef(X, Y)[0,1])   # 约 0
print("X 与 X平方 协方差   = %+.4f" % np.cov(X, Y, bias=True)[0,1])
Z = rng.normal(0, 1, 1_000_000)
print("X 与 独立Z  相关系数 = %+.4f" % np.corrcoef(X, Z)[0,1])  # 约 0
​

两行输出数值都是 0 附近，但一个背后是完全依赖、一个是真独立——相关系数只能检测线性，看不见非线性结构。散点图不可跳过的原因就在这里。

对冲组合：相关系数进入方差公式

两资产组合 W = aX + bY 的方差不等于方差相加，联动项必须出场：

Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) + 2ab·Cov(X,Y)

等权组合（a=b=0.5）在 ρ=1 时波动完全不抵消；ρ=−1 时可用权重完全对冲；ρ=0 时组合方差降到单资产一半。这是"不把鸡蛋放一个篮子"的数学本体，篮子之间的相关系数决定保护力度：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(8)
n = 1_000_000
z1, z2 = rng.normal(0, 1, (2, n))
for rho in [1.0, 0.5, 0.0, -0.5, -1.0]:
    Y = rho*z1 + np.sqrt(1-rho**2)*z2
    port = 0.5*z1 + 0.5*Y                  # 等权组合
    theory = 0.25 + 0.25 + 0.5*rho         # 方差公式手算值(单资产方差=1)
    print(f"ρ={rho:+.1f}  组合方差 模拟 {port.var():.4f}  公式 {theory:.4f}")
​

模拟与公式逐点吻合。ρ=−1 时组合方差恰为 0（完美对冲），ρ 从 1 滑向 −1，组合方差从 1 均匀降到 0——分散化的收益完全由相关系数定价。实务中危机时刻资产相关性会趋近 1（"危机里所有相关性变成 1"是风控行业的老话），分散保护恰在最需要时失效，这是协方差公式背后最重要的实践警告。

图 3-2 相关系数光谱与组合方差曲线

样本相关系数的波动：小样本能"看见"多强的相关

样本相关系数 r 本身是随机变量——样本量小的时候，即使总体 ρ=0，r 也常能跑到 ±0.3 之外。这正是"数据挖出假相关"的数学根源。量化一下这个噪声幅度：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(909)
for n in [10, 30, 100]:
    rs = []
    for _ in range(20_000):
        x, y = rng.normal(0, 1, (2, n))     # 真实 rho = 0
        rs.append(np.corrcoef(x, y)[0, 1])
    rs = np.array(rs)
    print(f"n={n:3d}: 真实ρ=0 但样本r超±0.3的概率 {(abs(rs)>0.3).mean():.3f}")
​

n=10 时约有 12% 的"假相关"强度超过 0.3；n=100 才压到 1% 以下。**样本相关系数必须配显著性检验或置信区间报告**（第 7 章工具），裸报 r 值等于 invites 数据挖掘陷阱。同源的教训：对 20 个变量两两算相关，210 对里"显著"的对子几乎必然出现——又是 7.2 节多重比较的伏笔。

本节要点回顾

• 协方差度量同向联动，量纲纠缠使它只配做中间量，比较用相关系数
• ρ ∈ [−1,1]：±1 对应精确线性关系，0 只排除线性
• 不相关 ≠ 独立：X 与 X² 完全依赖却零相关，非线性结构要靠散点图
• 组合方差公式带联动项 2abCov：对冲的可能性由 ρ 定价
• 构造指定相关的样本：Y = ρX + √(1−ρ²)Z，模拟相关结构的标准手法
• 危机相关性趋 1：分散保护在最需要时变弱，工程上的第一警告