7.1 置信区间的构造：大样本与小样本

7.1 置信区间的构造：大样本与小样本

本节摘要：置信区间通过枢轴量法构造——找一个含未知参数但分布已知（或近似已知）的统计量，反解出参数的随机区间。95% 修饰的是方法的长期覆盖率而非参数的概率。本节走通三类模板：σ 已知的 z 区间、σ 未知的 t 区间、大样本比例的 Wald 区间，并用蒙特卡洛直接测覆盖率。

一个数不诚实，一条区间才诚实

第 6 章估计 λ̂=2.03，真正的推断必须回答"可能是 2.0 吗？1.8 呢？"置信区间把这层不确定挂成误差条。95% 置信区间的准确读法：构造方法在重复使用中，约 95% 的区间会盖住真参数——95% 修饰的是方法（随机的是区间端点），不是"参数有 95% 概率落在这个区间"（参数不是随机的，频率派框架里它是固定常数）。这个措辞差异不是学究气：它决定了你能否正确理解"这次实验的区间没盖住 0"这类事件。

枢轴量法：唯一的通用套路

构造区间的标准姿势三步：找枢轴量（含 θ 但其分布不依赖 θ 的统计量）→ 写出概率陈述 P(下界 ≤ 枢轴量 ≤ 上界)=0.95 → 不等式变形反解出 θ 的区间。三个模板一张表：

σ 未知时用 S 顶替 σ 的代价由 t 分布支付（尾部更厚、区间更长），n 大时 t→z 两者合流。手算一遍再交给 statsmodels 对照：

import numpy as np
from scipy import stats
x = np.array([51.2, 48.7, 50.9, 49.5, 52.3, 50.1, 48.9, 51.6, 49.8, 50.4])
n, xbar, s = len(x), x.mean(), x.std(ddof=1)
tcrit = stats.t.ppf(0.975, n-1)
lo, hi = xbar - tcrit*s/n**0.5, xbar + tcrit*s/n**0.5
print(f"手算 95% t 区间: [{lo:.3f}, {hi:.3f}]  (x̄={xbar:.3f}, S={s:.3f})")
# statsmodels 交叉验证
import statsmodels.stats.api as sms
ci = sms.DescrStatsW(x).tconfint_mean(alpha=0.05)
print(f"statsmodels 区间: [{ci[0]:.3f}, {ci[1]:.3f}]")
​

两法输出一致。解读：若工艺标准是 50.0，区间盖住 50.0——"这批产品均值偏离 50"的证据不足（下一节的检验会给出同一结论的对偶表述）。

覆盖率：方法的体检指标

置信水平是承诺，覆盖率是实测。模拟 20_000 次抽样，数"区间盖住真值"的比例：

import numpy as np
from scipy import stats
rng = np.random.default_rng(50)
mu, sigma, n, reps = 10.0, 2.0, 12, 20_000
tcrit = stats.t.ppf(0.975, n-1)
xs = rng.normal(mu, sigma, (reps, n))
xbars, ses = xs.mean(axis=1), xs.std(axis=1, ddof=1)/n**0.5
cover_t = ((xbars - tcrit*ses <= mu) & (mu <= xbars + tcrit*ses)).mean()
# 故意用 z 代替 t：看错用分布的惩罚
zcrit = stats.norm.ppf(0.975)
cover_z = ((xbars - zcrit*ses <= mu) & (mu <= xbars + zcrit*ses)).mean()
print(f"t 区间覆盖率 {cover_t:.4f}  名义 0.950")
print(f"错用 z 的覆盖率 {cover_z:.4f}  n=12 时实际只有约 0.927")
​

t 区间覆盖率贴住 95%；小样本错用 z 区间，覆盖率掉到 92% 附近——不是灾难但足够让"95% 的承诺"变成空头支票。n 增大惩罚消失（t 收敛 z），这就是"大样本随便用 z"的合理内核。

比例的置信区间：A/B 测试的误差条

新按钮点击率 p̂ = 120/1000 = 0.12。Wald 区间 0.12 ± 1.96√(0.12×0.88/1000) ≈ [0.100, 0.140]。Wald 区间在 p 靠近 0 或 1 时覆盖率崩坏（小 p 的尾部被截断），实务建议 Wilson 区间：

import statsmodels.stats.proportion as smp
k, n = 120, 1000
ci_wald = smp.proportion_confint(k, n, alpha=0.05, method="normal")
ci_wils = smp.proportion_confint(k, n, alpha=0.05, method="wilson")
print(f"Wald 区间   [{ci_wald[0]:.4f}, {ci_wald[1]:.4f}]")
print(f"Wilson 区间 [{ci_wils[0]:.4f}, {ci_wils[1]:.4f}]")
# 极端比例下两者分歧拉大
ci_wald2 = smp.proportion_confint(2, 50, alpha=0.05, method="normal")
ci_wils2 = smp.proportion_confint(2, 50, alpha=0.05, method="wilson")
print(f"2/50 Wald [{ci_wald2[0]:.4f},{ci_wald2[1]:.4f}]  "
      f"Wilson [{ci_wils2[0]:.4f},{ci_wils2[1]:.4f}]")   # Wald 下限可为负
​

2/50 的 Wald 下限穿到负值——概率为负的区间显然荒唐；Wilson 区间始终待在 [0,1] 内且覆盖率更准。报表里的比例区间一律用 Wilson，是数据分析的卫生习惯。

图 7-1 置信区间的重复抽样意象：95% 的区间盖住靶心

区间宽度与样本量的交易

区间半径 = 临界值 × 标准误 = t·S/√n。宽度按 1/√n 收缩：精度翻倍要数据翻四倍——与 5.1 节的结论同一条根。反向操作即样本量设计：给定目标半宽 h 与置信水平，n ≈ (zσ/h)²。制药与民调的预算问题都是这条公式。

本节要点回顾

• 95% 修饰方法的长期覆盖率，参数固定、区间随机——读法错误是最高频事故
• 枢轴量法是唯一套路：找枢轴量、写概率陈述、反解区间
• σ 未知用 t 区间：小样本错用 z 覆盖率掉约 2–3 个百分点
• 比例区间用 Wilson：Wald 在极端比例处覆盖率崩坏甚至穿负
• 覆盖率模拟是检验区间方法的金标准：承诺 95% 就实测 95%
• 宽度按 1/√n 收缩：精度用四倍数据买两倍