3.2 三大守恒定律与纳维-斯托克斯方程
3.2 三大守恒定律与纳维-斯托克斯方程
本节摘要：质量守恒给出连续性方程，不可压缩时简化为速度散度为零；动量守恒即牛顿第二定律的场形式，把柯西应力分解为压力与粘性应力并代入牛顿流体本构关系后，得到纳维-斯托克斯方程。本节逐项解释方程每个力的来历，用控制体动量定理算弯管受力，并说明为什么这组方程"写得出来、一般解不出来"。
先看这条方程一眼——密度乘加速度，等于负压力梯度，加粘性扩散项，加体积力。这就是不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程（N-S 方程）。它看起来短，却是两百年流体力学的心脏：从咖啡杯里的搅拌到大西洋的环流，都被这行式子管辖。理解它的正确方式不是背下来，而是把右端每一项还原成一种"力"。
一、质量守恒：连续性方程
对固定控制体记账：密度变化率 + 净流出率 = 0。微分形式为 ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0。不可压缩（密度随质点不变）时退化为极简的 ∇·u = 0——速度场的散度为零，几何含义是"流体质点只变形、不膨胀"。这条约束也是 CFD 里速度-压力耦合困难（第 8 章 SIMPLE 算法）的根源：压力在方程里不显含，只靠它维持散度为零的约束。
二、动量守恒：把 F = ma 写在质点上
左端 ρ Du/Dt 是惯性力，物质导数展开就是 3.1 节的两项加速度。右端三个力：
- 压力梯度 −∇p：流体从高压被推向低压。风从高压吹向低压、水从水塔压向水龙头，都是它在干活；
- 粘性项 μ∇²u：邻层流体之间的动量拖拽，效果是抹平速度差。蜂蜜倒得慢，是这一项相对惯性太大的极端情形；
- 体积力 ρg：重力（或旋转机械里的离心项）。
中间还有一步关键推导：柯西应力张量 σ 分解为各向同性的压力 −pI 加偏应力 τ，而牛顿流体本构规定 τ 与应变率张量成线性正比——这正是 1.2 节"剪应力正比速度梯度"的张量推广。本构一代入，N-S 方程成形。流体材料的全部个性（μ、ρ）都被压缩进两个系数里，剩下的全是普适物理。
💡 关键直觉：N-S 方程的麻烦不在"多复杂"，而在非线性——对流项 (u·∇)u 是速度自己乘自己的导数。它让不同尺度互相耦合：大涡拉伸出小涡，小涡再搅出更小涡。第 6 章的湍流、第 8 章的湍流模型，追根溯源都是这一项惹的祸。克雷研究所把它列入千禧年难题，问的正是这组方程解的存在性与光滑性。
三、控制体动量定理：工程师的算力外挂
直接解 N-S 很少可行，工程上大量场景用积分形式就够了：作用在控制体上的合力 = 动量净流出率。经典算例是弯管受力。
直径 300 mm 的水平弯管转 90°，水流 0.3 m³/s，入口表压 200 kPa，求固定弯管所需的力。
import numpy as np Q = 0.3 # m3/s D = 0.3 A = np.pi * D**2 / 4 rho = 1000.0 p = 200e3 # 表压 U = Q / A # 动量变化所需力 + 压力合力 分别投影到 x y Fx = rho * Q * U + p * A # 入口方向 Fy = rho * Q * U + p * A # 出口方向 print(f"流速 {U:.2f} m/s") print(f"锚固力分量 Fx={Fx/1e3:.1f} kN Fy={Fy/1e3:.1f} kN") print(f"合力 {np.hypot(Fx, Fy)/1e3:.1f} kN")
两个分量各约 20 kN，合力近 29 kN——相当于 3 吨的重物在拽这个弯头。大型泵站的弯管下方那几吨混凝土镇墩，就是这个算式的产物。注意动量项 ρQU 约 127 N，相对压力项 pA 约 14 kN 很小：低压大流量管路里动量可忽略，高压管路里压力主导——量级感比公式本身更值钱。
四、能量守恒：第三本账
对流动体系记能量账：动能、压力能、位置势能互相转化，粘性把一部分变成热（不可回收的"损失"）。不可压缩流动沿流线的能量方程将在第 4 章以伯努利方程的形态出现；可压缩流动里能量方程与状态方程联立，成为第 5 章等熵关系式的出发点。此处先立个观点：三本账（质量、动量、能量）不是三道独立习题，而是同一流动的三个投影，工程问题选哪本账取决于你要算什么——流量用连续性，受力用动量，泵功率用能量。
四、能量账的算例：泵扬程
三大账本里能量账最常被工程直接使用。给水泵把水从吸水池送到 15 m 高的厂区，管路流量 20 L/s 时沿程加局部损失共折合 4.5 m 水头，出口要求保留 2 m 剩余压头，泵需要多大扬程与轴功率？
rho, g, Q, eta = 1000.0, 9.81, 20e-3, 0.72 H = 15 + 4.5 + 2 # 静扬程加损失加余量 P_fluid = rho * g * Q * H # 流体获得功率 P_shaft = P_fluid / eta print(f"扬程 {H:.1f} m 轴功率 {P_shaft/1e3:.1f} kW")
扬程 21.5 m、轴功率约 5.9 kW。选泵时再对照泵特性曲线找工况点（第 7 章相似律把这条曲线换算到其他转速）。注意能量账的三个来源各自独立：几何高度是静扬程、损失项来自下一节的摩阻公式、剩余压头是工艺要求——一张能量账单背后是三份子账，漏掉任何一份，泵选小了现场就"打不上量"。
追问：为什么 N-S 方程不含温度？
不可压缩常物性假设下，动量方程与能量方程解耦——先解速度场，温度当被动标量随后算。一旦密度随温度变（自然对流）或随压力变（高速流），耦合重新接通，方程组必须联立，这也正是湍流热对流与可压缩流计算更贵的原因。
变式思考
动量定理换个出口就是推力公式：火箭发动机推力等于质量流量乘喷气速度加喷口压差项，风机与螺旋桨的推力、水轮机的轴向力，全都由同一个积分式给出。工程上遇到"求力"类问题，先想控制体动量积分而不是微分方程——这是从本章通往涡轮机械与推进系统的主干道。
本节要点回顾
- 连续性方程：不可压缩时即速度散度为零，这行约束是 CFD 压力-速度耦合的根源；
- N-S 方程逐项读法：惯性 = 压力梯度 + 粘性扩散 + 体积力，本质是牛顿第二定律；
- 非线性对流项是湍流与求解困难的共同源头；
- 控制体动量定理是弯管受力、喷气推力、水轮机出力的万能算式，先估量级再抠细节；
- 三大守恒是同一流动的三个投影，按目标选账本。
方程立起来了，下一节去圆管里解出第一个精确解。