5.1 声速与马赫数

5.1 声速与马赫数

本节摘要：声速是小扰动压力波在介质中的传播速度，理想气体中 c = √(γRT)，只依赖温度。流速与声速之比为马赫数，它不只是"快慢"，更决定了流动的信息结构：亚音速流能感知下游扰动，超音速流不能。本节引入滞止参数（总温、总压），并实现一套等熵关系式计算器。

在机场附近听过超音速飞机的音爆吗？飞机早就飞过去了，轰鸣才砸下来——因为声波追不上飞机。这个日常经验里藏着可压缩流体力学的分水岭：当物体速度超过压力扰动的传播速度，流动的因果结构整个改变。一切从声速讲起。

一、声速：介质的"硬度探测器"

推导声速的物理图像：管内一微弱压缩波扫过，波前气体被压缩 Δρ、获得速度 Δu。跨波控制体用连续性加动量方程，得到声速平方 = dp/dρ。这个斜率正是 1.3 节体积模量的定义，所以声速是介质"硬度"的探测器：水硬（K 大），声速 1480 m/s；空气软，340 m/s。对理想气体，绝热扰动过程给出 c = √(γRT)——声速只由温度决定。夏天 30 °C 与冬天 −20 °C 的空气，声速差约 7%。

注意这是"当地声速"：高空冷、声速低；喷管里气流膨胀降温、当地声速沿途下降。马赫数 Ma = U/c 里的 c 永远取当地值，这是初学阶段最常犯的概念错误之一。

二、马赫锥：超音速世界的几何学

亚音速飞行（Ma < 1）时，飞机发出的压力扰动一路向四周传播，能逆流上传到前方——前方的空气提前"让路"，这就是亚音速绕流平滑的原因。超音速时，扰动波被飞机甩在身后，只能在一个锥形区域内传播——马赫锥，半锥角 μ 满足 sin μ = 1/Ma。Ma = 2 时 μ = 30°，Ma = 5 时仅约 11.5°：飞得越快，"影响范围"越窄越贴身。

import numpy as np

for Ma in [0.8, 1.0, 1.5, 2.0, 5.0]:
    if Ma >= 1:
        mu = np.degrees(np.arcsin(1 / Ma))
        print(f"Ma={Ma:4.1f}  马赫锥半角 {mu:5.1f} 度")
    else:
        print(f"Ma={Ma:4.1f}  亚音速 扰动可逆流上传 全场感知")
​

这个几何解释了大量超音速现象：激波前气体"不知道"物体要来（被"打"个措手不及，所以参数突跃）；超音速飞机的机翼前缘做成尖劈（钝头会在前方推出强脱体激波，阻力与加热剧增）；地面听到的音爆是马赫锥扫过耳朵的时刻。风洞喷管设计同样围绕"信息结构"做文章：超音速风洞必须先缩后张，正是为了让扰动无法逆流破坏建立好的流场。

三、滞止参数：等熵世界的"硬通货"

设想把气流等熵地（无损失、绝热）减速到静止，得到的温度、压力叫总温 T₀、总压 p₀。它们的用处是给高速流动提供参照系：

• 总温沿绝热流动守恒（能量方程直接结果），哪怕有激波也不变；
• 总压只在等熵过程守恒，激波与摩擦会让总压下降——因此 p₀ 是"流动品质"的通用指标，压气机效率、风洞品质、进气道性能全用总压恢复比 σ = p₀出口/p₀入口说话。

等熵关系式把静参数、马赫数、滞止参数串起来（γ 取 1.4）：

T₀/T = 1 + (γ−1)/2 · Ma²，p₀/p = (T₀/T)^(γ/(γ−1))，ρ₀/ρ = (T₀/T)^(1/(γ−1))。

import numpy as np

def stag(gamma, Ma):
    ratio_T = 1 + (gamma - 1) / 2 * Ma**2
    return ratio_T, ratio_T**(gamma/(gamma-1)), ratio_T**(1/(gamma-1))

print("Ma    T0/T    p0/p    rho0/rho")
for Ma in [0.3, 0.8, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0]:
    t, p, r = stag(1.4, Ma)
    print(f"{Ma:4.1f}  {t:6.3f}  {p:7.2f}  {r:7.2f}")
​

读表得到两个重要印象：Ma = 0.3 时 p₀/p ≈ 1.065，密度变化约 4.5%——这就是"0.3 以下可当不可压"的定量出处；Ma = 2 时总压是静压的 7.8 倍，Ma = 3 时 36.7 倍——高速飞行的静压极低，物体表压全靠动压顶着。飞行马赫数 3 的飞行器在大气层内巡航时，来流静温约 −50 °C，但总温高达约 600 K，蒙皮气动加热不可回避。

四、从声速到分类学

以 Ma 为标尺重排第 1 章那张物性表：不可压近似（<0.3）、亚音速可压（0.3–0.8）、跨音速（0.8–1.2，局部超音速与激波共存，最恶劣的设计区间）、超音速（1.2–5）、高超声速（>5，真实气体效应与激波层加热登场）。每个区间有自己的主导物理与工具集，"用错区间的工具"是可压缩流计算错误的第一来源。

五、总温的现场意义：气动加热

总温公式 T0 = T(1 + 0.2 Ma²) 在高速飞行上是生死攸关的数字。取高空静温约零下五十摄氏度（223 K）：

T = 223.0
for Ma in [1.0, 2.0, 3.0]:
    T0 = T * (1 + 0.2*Ma**2)
    print(f"Ma={Ma:.0f}  总温 {T0-273:.0f} 摄氏度")
​

Ma 2 时总温超过一百摄氏度，Ma 3 时接近四百度——铝合金在 Ma 2.5 附近就到强度极限，这就是为什么协和客机（巡航 Ma 2）要用耐热铝合金并做机体热胀设计，而 Ma 3 以上的侦察机直接上钛合金。再入飞行器更极端：激波层内总温上千度，防热罩烧蚀设计是整个工程的主线。总温不是抽象参考值，它就是物体驻点上真实达到的温度——皮托管头部、机翼前缘、发动机进气道第一级叶片，都在按总温干活。

⚠️ 常见坑：把静温当结构温度做设计。传感器、密封件、润滑剂的温度等级必须按当地总温（含恢复系数修正）选型，按静温选型的高空高速设备，试飞阶段就会出故障。

本节要点回顾

• 声速 c = √(γRT) 只依赖温度；马赫数里的 c 永远取当地值；
• 亚音速全场感知、超音速信息困于马赫锥（sin μ = 1/Ma），信息结构差异决定绕流形态；
• 总温绝热守恒、总压等熵才守恒，总压恢复比是流动品质的通用指标；
• 等熵关系式给出静参数与滞止参数的换算，Ma = 0.3 处密度变化约 5% 是不可压近似的定量边界；
• 五大马赫区间各有主导物理，先判区间再选工具。

有了货币与账本，下一节看两种花钱方式：光滑的等熵膨胀与暴烈的激波突跃。