7.2 相似准则与模型实验

7.2 相似准则与模型实验

本节摘要：模型与原型流动相似，要求相关无量纲数全部相等。但用同一种流体时，Re 与 Fr 相似互相矛盾——船模试验的千古难题。工程对策是部分相似：保 Fr、Re 用外插修正；风洞则受限于最高风速与雷诺数缺口，用压力加压、低温或湍流模拟补齐。本节算清这些矛盾的数量级，并给出泵相似律的标准算例。

上一节结尾埋的雷在这里引爆。船舶拖水池要同时满足雷诺数与弗劳德数，把两个等式联立消去速度，会得到一个荒诞要求：模型缩到 λ 分之一，流体粘度也要缩到 λ 的二分之三次方分之一。同一种水做不到，世上也不存在粘度随缩尺自动变化的液体。

相似准则速览与冲突根源

一、矛盾的定量账

设实船长 200 m、航速 12 m/s（Fr ≈ 0.27），做 1:40 的模型（长 5 m）。保 Fr 相似，模型速度 = 12×√(1/40) ≈ 1.9 m/s；保 Re 相似则要求模型速度高 40 倍（用同一种水）。两个要求差 40 倍速度，不可兼得。

import numpy as np
L_s, U_s, lam = 200.0, 12.0, 40.0
g = 9.81
U_fr = U_s / np.sqrt(lam)          # 保弗劳德数的模型速度
U_re = U_s * lam                   # 保雷诺数的模型速度 粘度不变时
print(f"实船 Fr={U_s/np.sqrt(g*L_s):.2f}")
print(f"保 Fr 模型速度 {U_fr:.1f} m/s   保 Re 模型速度 {U_re:.0f} m/s")
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船模水池的选择：保 Fr、舍 Re。理由是波浪阻力（重力效应）无法外插得准，而摩擦阻力成分有充分发展的平板摩擦公式可以事后算回实船值——著名的休斯法/ITTC 外插流程：测出模型总阻力，扣掉模型摩擦阻力得"剩余阻力"（按 Fr 换算直接放大），再加回实船雷诺数下的摩擦阻力。误差主要来自"剩余阻力里也混着少量粘性效应"，这是船池百年功力的所在。

二、风洞的雷诺数缺口

全尺寸客机 Re 达数千万，普通风洞做到几百万就到顶。补齐手段排成一个成本阶梯：缩小缺口（加大模型、加大风速）、换介质（高压空气密度高、低温风洞粘度低——欧洲 ETW 低温风洞用液氮降温同时把 Re 与马赫数都推到全尺寸）、或干脆改变策略（贴粗糙带强制转捩位置，让模型与实机的湍流边界层占比一致，专测压差项）。建筑风洞则常用"等效风谱"思路：不追全 Re，而追"高雷诺数渐近区"内无量纲系数已不敏感的区段。

三、泵与风机的相似律：换转速换尺寸

叶片机械是相似律最干净的受益者。几何相似的泵，在相似工况（流量系数、扬程系数相等）下：流量按尺寸三次方乘转速一次方缩放，扬程按尺寸平方乘转速平方，功率按尺寸五次乘转速三次方。一套试验曲线换算全系产品：

# 某泵 DN100 转速1450rpm 时 流量400m3/h 扬程32m 效率0.78
# 换到直径1.2倍 转速1750rpm
s, n1, n2 = 1.2, 1450.0, 1750.0
Q1, H1, eta = 400.0, 32.0, 0.78
Q2 = Q1 * s**3 * (n2/n1)
H2 = H1 * s**2 * (n2/n1)**2
P2 = 1000*9.81*Q2/3600*H2/eta/1000
print(f"新工况 流量 {Q2:.0f} m3/h  扬程 {H2:.1f} m  轴功率约 {P2:.0f} kW")
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新工况流量约 870 m³/h、扬程约 66 m——几何与转速的两个小改动叠出翻倍的性能，这就是泵厂"一个水力模型覆盖整条产品线"的原理，其合法性完全建立在 Re 变化不显著、自模区成立的假设上（高 Re 时摩擦系数变化缓慢，即第 6 章说过的湍流"雷诺数无关性"红利）。

⚠️ 常见坑：低雷诺数小泵的试验曲线直接放大到高雷诺数大泵，忽略效率修正。自模区只在足够高的 Re 成立，小模型常在过渡区，需按经验公式补效率增益，否则大泵实测性能"莫名"偏低。

排错与追问：模型实验对不上账时查什么

模型实验结果与原型数据对不上，按频率从高到低排查四个嫌疑：

• 相似准则选错：先问主导力是什么。重力波主导（船舶、明渠、溢流坝）保弗劳德数；粘性主导（管流、低速绕流、潜水器）保雷诺数；表面张力主导（微滴、毛细、涂层液膜）保韦伯数；弹性力主导（流固耦合、旗帜摆动、血管壁）保柯西数。一个案例里常常两个准则打架，保谁舍谁由"哪个力贡献了所关心的那个量"决定——阻力里摩擦占大头就保 Re，波形占大头就保 Fr。
• 尺度效应漏补：模型雷诺数低一两个数量级，边界层可能还大片层流，实船已全湍流。惯用补法是激流丝（模型首部贴一根细线强制转捩），把两边都拉到湍流再比摩擦系数。
• 阻塞与壁面干扰：风洞试验段截面与模型迎风面积之比超过百分之五到十，绕流被洞壁"挤压"，升阻力系数整体偏高，要做阻塞度修正。
• 测量链未定标：天平零漂、皮托管偏角、水温对应的粘度取值错一成，弗劳德数相同的两次拖曳就能差出百分之几。实验记录本上先写定标，再写数据。

# 快速核对 保弗劳德数时雷诺数差多少倍
L_ratio = 30.0                    # 实船与模型尺度比
nu_water = 1.14e-6
# Fr 相等则速度比等于尺度比的根号 Re 比 = sqrt(尺度比) * 粘度修正
Re_ratio = L_ratio**0.5           # 同一水温
print(f"模型 Re 只有实船的 {1/Re_ratio:.3f} 再叠加粘度差 量级拉开一到两个数量级")
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数字很直白：保了 Fr，Re 就要掉一个量级以上——这不是设计失误，而是物理约束；工程答案永远是"部分相似加外插修正加留裕度"。

本节要点回顾

• 相似要求全部相关无量纲数相等，但同种流体下 Re 与 Fr 相似互斥（速度要求相差缩尺倍数与缩尺平方根两个方向）；
• 船模水池保 Fr，摩擦项按平板公式外插修正（ITTC 流程）；
• 风洞雷诺数缺口靠大模型、增压、低温、粗糙带逐级补齐，或改测渐近区不敏感量；
• 泵相似律：流量、扬程、功率分别随尺寸-转速按三次、二次、五次组合缩放，一个水力模型撑起产品线；
• 相似律的暗设前提是"自模区成立"，跨量级外插必须补效率与雷诺数修正。

准则与缩尺谈完，下一节进实验室：模型做出来，数据怎么测才可信。