4.3 库存理论与决策分析

4.3 库存理论与决策分析

本节摘要：库存论处理随机需求下的补货决策，核心模型是报童模型——最优订货量使缺货与滞销的期望损失平衡，落在需求的临界分位数上。本节推导并仿真该模型，引入决策树与效用函数表达风险态度，说明"期望值最大"未必是决策者的真实目标。

报童的一天的数学

清早批发报纸，每份成本 0.8 元、售价 2 元，傍晚卖不掉的只能以 0.1 元回收。需求不确定——经验分布是：50 份概率 0.25、100 份 0.5、150 份 0.25。进多少货？

多进一份的边际账：如果这份能卖掉，赚 2 − 0.8 = 1.2 元；卖不掉，亏 0.8 − 0.1 = 0.7 元。直觉上"卖得掉的把握"要大到什么程度才值得多进一份？设卖掉的概率为 p，期望边际收益 p×1.2 − (1−p)×0.7 ≥ 0，解出 p ≥ 0.7/(1.2+0.7) ≈ 0.368。翻译成订货规则：按需求分布的 36.8% 分位数订货——也就是说，最优订量应当满足"真实需求不低于订量"的概率恰好是临界比率 cu/(cu+co)，其中 cu 是单件缺货损失（少赚的 1.2），co 是单件滞销损失（0.7）。本题需求分布里 50 份对应累计概率 0.25、100 份对应 0.75，临界值 0.368 落在两者之间，按离得最近的可行订量取 100 份。

用期望利润直接枚举验证这个规则：

import numpy as np

demands = np.array([50.0, 100.0, 150.0])
probs   = np.array([0.25, 0.5, 0.25])
price, cost, salvage = 2.0, 0.8, 0.1

def expected_profit(q):
    sold = np.minimum(demands, q)
    left = q - sold
    return np.sum(probs * (sold * price + left * salvage - q * cost))

for q in [50, 100, 150]:
    print(f"订 {q} 份：期望利润 {expected_profit(q):.1f} 元")
# 50 份赚 60；100 份赚 96.3；150 份赚 77.5 —— 100 份最优，与临界分位数规则一致
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临界分位数规则的价值在于规模化：换一批数据，只要能估出需求分布和两种单位损失，最优订量当场可查，不必重新枚举。服装业的季前订货、航班的超售（把"滞销损失"换成"拒载赔偿"）、医院血库的备血，全是报童结构。以航班超售为例：票价 800，拒载赔偿 1200，临界比率 = 1200/(1200+800)？方向要小心——超售问题的临界比率是"误机损失 ÷（误机损失 + 拒载赔偿）"，代入实际数字后航空公司会订到"no-show 概率覆盖该分位"的座位数，逻辑与报童完全同构。

从订一次到补一条流水线

报童是单周期模型；现实库存是连续滚动。经典延伸是 (s, S) 策略：库存降到再订点 s 以下，就补到目标水位 S——它的最优性可以在需求随机的动态规划框架下证明，正是 3.4 节贝尔曼方程在库存场景的落地。另一个基石是 EOQ（经济订货批量）：年需求 D、单次订货费 K、单位年持有成本 h，最优批量 Q* = √(2DK/h)，它平衡"订货次数多则订货费高"与"每次订多则持有费高"两端：

D, K, h = 12000.0, 300.0, 4.0        # 年需求、单次订货费、单位年持有成本
Q_star = (2 * D * K / h) ** 0.5
n_orders = D / Q_star
print(f"最优批量 {Q_star:.0f} 件，年订货 {n_orders:.1f} 次")
# EOQ 假设需求均匀确定，与报童的随机需求互补：EOQ 管“多久订一次”，报童管“订多少的随机缓冲”
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决策树与效用：钱不是唯一的刻度

库存决策的损失是钱，但很多决策的后果不能只用期望金额比较。设备供应商面对两案：A 稳赚 90 万；B 五成概率赚 200 万、五成概率倒赔 40 万，期望 80 万。期望值说 A 更好（90 > 80），多数企业也确实选 A——但这不是数学错了，是决策目标不是期望利润，而是期望效用。风险规避者的效用函数是凹的（钱越多、每多一万的边际效用越低），对数效用 u(x) = log(x+41)（平移避免负数）下重新计算两案的期望效用，A 案胜出得更彻底；换成愿意赌的初创公司（凸效用或生存约束不同），选择可能反转。

决策树把这些结构画清楚：方块是决策节点（你选），圆点是随机节点（世界掷骰子），从右往左回溯期望值（或期望效用）：

import numpy as np

u = lambda x: np.log(x + 41.0)        # 风险规避的效用
ua = u(90)
ub = 0.5 * u(200) + 0.5 * u(-40)
print(f"A 案效用 {ua:.3f}，B 案期望效用 {ub:.3f} → 选 {'A' if ua > ub else 'B'}")
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⚠️ 常见坑：给决策方汇报时只报期望值。正确的姿势是同时给出分布信息——最坏情形多惨、九成情况多好、期望居中在哪。第 4.1 节的机会约束与本节的效用函数，本质都是把"风险态度"写进模型，而不是藏在汇报语气里。

信息的价值：补货前先问预测值多少钱

库存决策的质量由需求预测的质量决定，于是出现一个漂亮的追问：把预测做得更准一点，值多少钱。这个量叫信息的期望价值。以本节报童为例：若能提前知道确切需求（完全信息），期望利润是"按真实需求订货"的利润；在不完全信息下，最优期望利润是按临界分位数订货的利润。两者之差就是"先知"的价格上限——任何预测系统的投入都不该超过它。这个计算在实战中极其有用：一家企业考虑上马需求预测系统，报价百万，而信息的期望价值算出来只有二十万，项目就该否决；反之若它是千万量级，预测系统的每一分投入都有明确回报。先算信息的价格，再买信息——这是决策分析送给所有数字化项目的开户仪式。

本节要点回顾

• 报童临界分位数：最优订量使"需求不低于订量"的概率等于 cu/(cu+co)；
• 超售、备血、季前订货全是报童结构，识别结构比记公式值钱；
• EOQ 管订货节奏、报童管随机缓冲，两者在 (s, S) 策略里合流；
• 期望效用替代期望金额，才能表达风险规避与生存约束；
• 决策树回溯是汇报语言：决策节点与随机节点分开，账算得清、责任划得开。

不确定战场的三条战线到此走完。下一章回到确定性数据，但战场本身变成网络——点与线的世界，路径、流与巡游。